第1章章末复习课

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1、题型一　集合间的基本关系解答与集合有关的问题时，应首先认清集合中的元素是什么，是数集还是点集，再进行相关的运算，以免混淆集合中元素的属性．分清集合中的两种隶属关系，即元素与集合、集合与集合的关系是解答集合问题的先决条件，也是正确使用集合有关术语和符号的基础．应明确：元素与集合的关系是“个体与集体的关系”，而集合与集合的关系是“集体与集体的关系”．例1　若集合P＝{x

2、x2＋x－6＝0}，S＝{x

3、ax＋1＝0}，且S⊆P，求由a的可能取值组成的集合．解　由题意得，P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝∅，满足S⊆P；当a≠0时，方程ax＋

4、1＝0的解为x＝－，为满足S⊆P，可使－＝－3，或－＝2，即a＝，或a＝－.故所求集合为.跟踪训练1　已知集合A＝{x

5、log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝______.答案　4解析　由log2x≤2，得0

6、04，即c＝4.题型二　集合的交、并、补运算集合与集合之间的交集、并集和补集有如下性质：(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(B∪C)

7、＝(A∩B)∪(A∩C)．(4)A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)．(5)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U.(6)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.(7)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．(其中集合A与集合B为全集U的子集)．例2　设集合A＝{x

8、x＋1≤0或x－4≥0}，B＝{x

9、2a≤x≤a＋2}．(1)若A∩B≠∅，求实数a的取值范围；(2)若A∩B＝B，求实数a的取值范围．解　A＝{x

10、x≤－1或x≥4}．(1)∵A∩B≠∅，∴或∴或∴a＝2或a≤－.故a的取值范围是{a

11、

12、a≤－}∪{2}．(2)∵A∩B＝B，∴B⊆A，有三种情况：①得a≤－3；②得a＝2；③B＝∅，得2a>a＋2，a>2.∴a的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．跟踪训练2　已知集合U＝{x

13、0≤x≤6，x∈Z}，A＝{1,3,6}，B＝{1,4,5}，则A∩(∁UB)＝________.答案　{3,6}解析　∵U＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{1,4,5}，∴∁UB＝{0,2,3,6}，又∵A＝{1,3,6}，∴A∩(∁UB)＝{3,6}．题型三　数形结合思想的应用集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合这一单元

14、的核心内容之一．在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想具体应用之一．在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解．例3　已知集合A＝{x

15、0≤x≤2}，B＝{x

16、a≤x≤a＋3}．(1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围．(2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？解　(1)A＝{x

17、0≤x≤2}，∴∁RA＝{x

18、x<0或x>2}．∵(∁RA)∪B＝R.∴∴－1≤a≤0.(2)由(1)知(∁RA)∪B

19、＝R时，－1≤a≤0，而a＋3∈[2,3]，∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．即这样的a不存在．跟踪训练3　若全集U＝R，集合A＝{x

20、x≥1}∪{x

21、x≤0}，则∁UA＝________.答案　{x

22、0

23、0

24、mx2－2x＋1＝

25、0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围．(1)A＝∅；(2)A恰有两个子集；(3)A∩≠∅.解　(1)若A＝∅，则关于x的方程mx2－2x＋1＝0没有实数解，所以m≠0，且Δ＝4－4m<0，所以m>1.(2)若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程mx2－2x＋1＝0恰有一个实数解，讨论：①当m＝0时，x＝，满足题意；②当m≠0时，Δ＝4－4m＝0，所以m＝1.综上所述，m的集合为{0,1}．(3)若A∩≠∅，则关于x的方程mx2＝2x－1在区间内有解，这等价于当x∈时，求m＝－＝1－2的值域，所以m∈(0,1]．跟踪训练

26、4　已知集合A＝{x

27、x2－ax＋a2－12＝0}，B＝{x

28、x2－5x＋6＝0}，是否存在实数a，使得集合A，B同时满足下列三个条件：①A≠B；②A∪B＝B；③∅(A∩B)？若存在，求出a的值；若不存在，试说明理由．