利用函数思想解题策略

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1、利用函数思想解题策略刘厚顺函数是高中数学中的重要内容，函数思想是最基本的数学思想．函数的有关概念、性质以及几类典型的常用函数是函数思想的载体，解题时可利用的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性、连续性、特殊点处的函数值、函数图象的变化趋势、函数图象的某种对称性等去解决问题．1．利用函数概念例1曲线C是定义在R上的函数y＝f(x)的图象，则()A．曲线C与直线x＝1可能有两个交点B．曲线C与直线x＝1一定有一个交点C．曲线C与直线x＝1一定有两个交点D．曲线C与直线y＝1有且仅有一个交点分析与解：对于函数y=f(x)

2、定义域为A，值域为B，则对任x∈A，都有唯一的y∈B与之相对应，故选B．例2若函数y＝f(x)存在反函数，则方程f(x)＝C(C为常数)A．有且只有一个实根B．至少有一个实根C．至多有一个实根D．没有实根分析与解：函数y＝f(x)存在反函数，则此函数的对应必是一对一的，若C在函数f(x)的值域中，则必有唯一实根，若C不在函数f(x)的值域中，则无实根，选C．2．利用函数的奇偶性奇偶性(即对称性)是函数的又一重要性质，常利用它进行区间过渡，即将不同区间的问题转化到同一区间中进行研究，从而达到化难为易之目的．(1)利用函数奇偶性解方程

3、(组)例3解方程(3x3-4)3+4x3+x-4=0(只求实数根)分析与解：原方程可变为(3x3-4)3+(3x3-4)=-(x3+x).........①，令f(x)=x3+x，易证f(x)是奇函数且在R上是增函数，方程①就是f(3x3-4)=-f(x)=f(-x)。由f(x)的单调性知3x3-4=-x，即3x3+x-4=0，此方程显然有一根为1，故原方程就是(x-1)(3x2+3x+1)=0，因为3x2+3x+1=0无实根，所以x=1为原方程的实数根。（2）利用函数奇偶性求值例4．设(2-3sinx+4sin2x+5sin3x

4、)7·(2+3sinx+4sin2x-5sin3x)7=a0+a1sinx+a2sin2x+……+a42sin42x,求a1+a5+a9+……+a41的值。分析与解：令f(x)=(2-3sinx+4sin2x+5sin3x)7(2+3sinx+4sin2x-5sin3x)7=a0+a1sinx+a2sin2x+……+a42sin42x,易证f(x)是R上的偶函数，故a1=a3=a5=……=a41=0，所以a1+a5+a9+……+a41=0.8（3）利用函数奇偶性证明不等式例5．求证：<(x≠0).分析与证明：设f(x)=-(x≠0

5、).因为f(-x)===[1-(1-4x)]+=-x+=-=f(x)，所以f(x)是偶函数，图象关于y轴相对称。因为当x>0时，1-4x<0，所以f(x)<0，即<(x≠0)。（4）利用函数奇偶性证明恒等式例6．已知，a≠kp+,b¹kp(kÎz)且(tana+3cotb)3+tana+cot3b+4cotb=0,求证sin2asinb+4cos2acosb+4cosb=0.分析与证明：已知式可变为(tana+3cotb)3+(tana+3cotb)=-(cot3b+cotb)....①令f(x)=x3+x，易证f(x)是奇函数且

6、在R上单调递增，①式即f(tana+3cotb)=-f(cotb)=f(-cotb)所以，tana+3cotb=-cotb,即tana+4cotb=0,+=0,所以sinasinb+4cosacosb=0，所以sinasinb+4cosacosb+4cosb=2sinacosasinb+4(2cos2a-1)cosb+4cosb=2sinacosasinb+8cos2acosb=2cosa(sinasinb+4cosacosb)=(2cosa´0)=0.（5）利用函数奇偶性比较大小例7．已知x¹0，a>0，且a¹1，试比较xlog

7、a(1-x)与xloga(1+x)的大小。分析与解：设f(x)=xloga(1-x)-xloga(1+x)=xloga.因为f(x)=-xloga=-xloga()-1=xloga=f(x)，所以f(x)是偶函数，图像关于y轴对称。若a>1，由已知得-11，所以loga>0,xloga<0即f(x)<0，由图像的对称性知，当0xloga(1+x).综上，当a>1时，xloga

8、(1-x)xloga(1+x).3．利用函数的单调性单调性是函数的重要性质，某些数学问题，通过函数的单调性，可将函数值间的关系转化为自变量间的关系研究，从而达到化繁为简的目的。特别是在