《利用函数与方程的思想方法解题》

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1、函数与方程的思想方法总结函数与方程的思想是指在解决某些数学问题吋，构造适当的函数与方程，把问题转化为研究辅助函数与辅助方程性质的思想。下面就结合近儿年高考试题，说明如何运用函数与方程的思想方法去分析和解决问题。例1・设不等式2%-1>m(x2-1)对满足m<2的一切实数m恒成立，求实数x的取值范围。解析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式进行分类讨论。然而，若变换一个角度以m为主元，记/(m)=(x2-l)m-(2x-l),则问题转化为求一次函数(或常数函数)/(加)的值在区间［一2,2］内恒负吋参数x应该满足的条件。要使f(ni)<0,只要使/(-2)<0/(2

2、)<0-2(x2-1)-(2x-1)<02(兀2—1)—(2兀—1)<0从而解得兀丘(近二1,血)。22评注：本例采用变更主元法，化繁为简，再巧用函数图象的特征(一条线段)，解法易懂易做。如何从一个含有多个变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其屮主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。例2.设a,beR，且a3-3a2+5a=l,b3-3b2+5b=59求a+b的值。解析：由已知两式结构的相似性，联想到相应函数/(%)=x3-3x2+5%=(x—1)'+2(兀—1)+3令兀-1»,则g(u)=/+2况是奇函数，且是增函数。这样，已知是/(a)=g(Q-1)

3、+3=1,y*(b)=g@-l)+3=5,得g(o-1)=-2,g@-1)=2,则有g(a-1)=-g(b-1)=g(l-b)从而tz—1—I—b9所以a+b=2o评注：本例由已知式构造函数，再巧用奇偶性和单调性，解法奇妙。选取变元，构造函数关系来解决数学问题，这是运用函数思想解题的较高层次，只有平时多加训练并注意积累，才能做到运用自如。1+2"+4%例3.设f(x)=lg，其中awR,如果当xg(-oo,1］时，f(x)有意义,求a的取值范围。解析：二次函数及图彖、二次不等式、二次方程三者是紧密联系的，许多问题都可以利用它们来解决，只要进行合理的转化就可以了。可知1+2'+4*g>

4、0,即a>-［(-)x+(-)x］当兀w(-oo,1］时恒成立。42而(丄丫、(丄)“都是减函数，42则g⑴=-［(!)"+弓)“］在(-OO,1］上是增函数。113故当x=1时，g(x)取得最大值是g(l)=-(—+—)=—,424从而得a的取值范围是d>o4评注：本例采用分离参数法，再构造函数，使不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，方向明确，解法简捷。在数学各分支中若遇到有关不等式、方程及最值之类的问题，利用函数观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种适当的解题途径。这充分体现了方程思想和函数思想的实用性和重要性。例4.如果函数y=^-的最大值是4,最小值是一1,求

5、实数a、b的值。X+1解析：由y的最大值是4,知存在实数x使密葩=4,即方程x2+l4/w+4-b=0有实根，故有A,=^2-16(4-/?)>0乂由y的最大值是4,知对任意实数x恒有耳艺54,即4亍一d兀+4—b»0恒成立，故A,=c/2-16(4-&)<0从而有纠=^2-16(4-Z?)=0同样由y的最小值是一1,可得A2=a2_4(l+b)=0S=+4可解得｛归评注：木例解法中，对题设中给出的最值，一方面认为是方程的实数解，另一方面又认为是不等式的恒成立条件。由于对题设条件的理解深刻，所以构思新颖，证法严谨。例5.AABC的三边a,b,c满足b=8—c,/一加一12°+52=0

6、,试确定△ABC的形状。解析：因为b+c=8,bc=a2-2a^52f所以b,c是方程厂一81+/_i2q+52=0的两实根,故△=(—8)2—4(/—12^+52)=-4(/-i2d+36)n0即-4(6/-6)2>0,所以a=6o从而得b=c=4,因此△ABC是等腰三角形。评注：构建一元二次方程的模型解决数学问题，是一种行之有效的手段，其独特功能在于充分运用构建的一元二次方程及根的判别式和求根公式变更命题，从而使问题获得圆满解决。例6.设函/(x)=2x3-3(67+l)x2+6^+8,其中a>0o(1)若f(x)在x=3处取得极值，求常数a的值；(2)若f(x)在(-oo,0

7、)上为增函数，求a的取值范围。解析：(1)广(兀)=6兀2—6(。+l)x+6a=6(兀一a)(兀一1)因f(x)在x=3时取得极值，所以/*(3)=6(3-^)(3-1)=0解得a=3经检验知当a=3时，x=3为f(x)的极值点。(2)令广(x)=6(x-a)(x-1)=0彳寸X

8、—Clf—1当a0,所以f(x)在(一8,a)和(1,+oo)上为增函数，故当05dv1时，/(兀)在(yo,0)上为增函数。当