函数与方程的思想方法在高考解题的应用

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1、函数与方程的思想方法在高考解题中的应用第七小组李季、徐娜、王思雨、魏晓姗、李炳玉、雷思然数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认识，是对数学的规律性的理性认识。高考通过对数学思想方法的考查，能够最有效地检测学生对数学知识的理解和掌握程度，能够最有效地反映出学生对数学各部分内容的衔接、综合和渗透的能力。《考试大纲》对数学考查的要求是“数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构”。而数学思想方法起着重要桥梁连接和支称作用，“对数学思想方法的考查是对数学知识在更

2、高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度”。所谓函数的思想，就是用运动和变化的观点、集合对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数。运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决，函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是要善于利用函数知识或函数观点去观察分析处理问题。所谓方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程（组），或者运用方程的性质去分析转化问题使问题获得解决，方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是利用方程

3、或方程观点观察处理问题。函数思想与方程思想是密不可分的，可以相互转化的。函数和方程的思想是最重要和最常用的数学思想，它贯穿于整个高中教学中，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数，尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具．因此，在数学教学中注重函数与方程的思想是相当重要的．在高考中，函数与方程的思想也是作为思想方法的重点来考查的，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。本文通过以下例题说明这种思想方法在解高考题中的应用：题型一利用函数与方程的性质解题例

4、1．（2008安徽卷，理,11）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）A．B．C．D．分析：要比较函数值的大小，就要由已知条件求得函数解析式，本题中的都未知，只有一个等式，就需要我们再挖掘一个等式，由函数的奇偶性容易想到用替换，从而得到两个方程组成方程组解出。解：因为，用替换得：因为函数分别是上的奇函数、偶函数，所以，又解得：，而单调递增且，∴大于等于0，而，故选。答案：评注：本题中利用函数的性质再得一方程，通过解方程组求得函数的解析式，再回归到函数的单调性比较函数值的大小关系，是函数与方程的较好得结合。题型二构造函数或方程解题例2.(2008天津卷，理，16）设，若仅有一

5、个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为。分析:题目给出的方程中含有等多个字母，而条件中是对任意的都有，这使我们联想到函数的定义域、值域，所以必须把方程改写为关于的函数，再进一步研究函数的性质。解：由已知，得（其中），函数为反比例函数，在（）上为单调递减，所以当时，又因为对于任意的，都有，所以，因为有且只有一个常数符合题意，所以，解得，所以的取值的集合为。答案：评注:本题看似方程问题，实质是函数问题，通过分析、转化为函数，并运用函数的性质将问题转化为不等式组解出。本题中自觉地、巧妙地运用函数的思想来指导解答问题。题型三函数与方程、不等式的转化例3．（2008广东卷，

6、理14)已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是．分析：求参数的范围，可以先将分离出来，表示为的函数，求出函数的值域，进而得到参数的范围解：方程即,利用绝对值的几何意义,得，可得实数的取值范围为评注：本题将方程转化为函数，利用函数的值域得到的不等式，求得参数的范围。例4．（福建德化一中2008，理）若关于x的方程的两根满足，则k的取值范围是（）A．B．C．D．分析：本题是研究二次方程的实根分布问题，可以转化为二次函数，由二次函数的图象转为函数值表示的不等式组解出。解：设函数，∵关于x的方程的两根满足，∴即∴，故选择。答案：评注：对于二次方程的实根分布问题，要转化为二次函数，由二次函数

7、的图象和各端点对应的函数值以及二次项系数和对称轴解答。题型四函数与方程在立体几何中的应用例5．（2008北京卷，理，8）如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，CDNPA1B1C1D1yxA．OyxB．OyxC．OyxD．O则函数的图象大致是（）分析：本题是立体几何与函数的交汇题，可以先观察题目并进行空间想象加以判断，再由的特殊性与平面垂直，可以把向平面内作正投影，保持其长度不变，从而把空间问题转为平面问题，在平面内