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时间:2021-04-21
《高中数学解题思想方法(函数与方程的思想方法).docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、十、函数与方程的思想方法函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。Ⅰ、再现性题组:1.方程lgx+x=3的解所在的区间为_____。A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)2.如果函数f(x)=x2+bx+c对于任意实数t,都有f(2+t)=f(2-t),那么_____。A.f(2)2、(2)3、5°,则此棱锥的侧面积为___________。8.建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,则水池的最低造价为___________。Ⅱ、示范性题组:例1.设a>0,a≠1,试求方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有实数解的k的范围。(xx全国高考)【解】将原方程化为:loga(x-ak)=logax2a2,等价于xak0(a>0,a≠1)xakx2a2∴k=x-(x21(4、x5、>1),a)aa设x=cscθ,θ∈(-π,0)∪(0,π),则k=f(θ)=cscθ-6、ctgθ7、a22当θ∈(-π,0)时,8、f(θ)=cscθ+ctgθ=ctgθ<-1,故k<-1;22当θ∈(0,π)时,f(θ)=⋯2综上,k的取值范围是⋯【注】引入新的变量,而用函数值域加以分析,此法可解有关不等式、方程、最值、参数范围之类问题。(分离参数法、三角换元法、等价转化思想)【另解】(数形结合法):【再解】(方程讨论法):例2.设不等式2x-1>m(x2-1)对满足9、m10、≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。【分析】此问题由于常见的思维定势,易把它看成关于x的不等式讨论。然而,若变换一个角度以m为变量,记f(m)=(x2-1)m-(2x-1),则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在[11、-2,2]内恒负时参数x应满足的条件。【解】设f(m)=(x2-1)m-(2x-1),则f(2)2(x21)(2x1)02(x2f(2)1)(2x1)0解得x∈(71,31)22【注】本题有别于关于x的不等式2x-1>m(x2-1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x-1>m(x2-1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。在一个含有多个变量的数学问题中,确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化。例3.设等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0。①.求公差d的取值范围;②.指出S1、S2、⋯、S12中哪一个值最大,12、并说明理由。(xx【分析】①问用an、Sn易求;②问利用Sn是n的二次函数而求什么时候取最大值。【解】全国高考)【注】数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数,因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。【另解②问】(寻求an>0、an1<0):例4.如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在平面,C是圆周上任一点,设∠BAC=θ,PA=AB=2r,求异面直线PB和AC的距离。【分析】异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值,从而设定变量,建立目标函数而求函数最小值。【解】在PB上任取一点M,作MD⊥AC于D,MH⊥AB13、于H,P设MH=x,则MH⊥平面ABC,AC⊥HD。∴MD2=x2+[(2r-x)sinθ]2=(sin2+1)x2-4rsin2θx+4r2sin2θM=(sin2θ+1)[x-2rsin2θ]2+4r2sin2θAHBDC1sin2θ1sin2θ即当x=2rsin2θ时,MD取最小值2rsinθ为两异面直线的距离。1sin2θ12θsin【注】求最大值、最小值的实际问题,将文字说明转化成数学语言后,建立数学模型和函数关系式,利用函数性质、重要不等式和有关知识解答。(见再现性题组第8题)例
2、(2)3、5°,则此棱锥的侧面积为___________。8.建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,则水池的最低造价为___________。Ⅱ、示范性题组:例1.设a>0,a≠1,试求方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有实数解的k的范围。(xx全国高考)【解】将原方程化为:loga(x-ak)=logax2a2,等价于xak0(a>0,a≠1)xakx2a2∴k=x-(x21(4、x5、>1),a)aa设x=cscθ,θ∈(-π,0)∪(0,π),则k=f(θ)=cscθ-6、ctgθ7、a22当θ∈(-π,0)时,8、f(θ)=cscθ+ctgθ=ctgθ<-1,故k<-1;22当θ∈(0,π)时,f(θ)=⋯2综上,k的取值范围是⋯【注】引入新的变量,而用函数值域加以分析,此法可解有关不等式、方程、最值、参数范围之类问题。(分离参数法、三角换元法、等价转化思想)【另解】(数形结合法):【再解】(方程讨论法):例2.设不等式2x-1>m(x2-1)对满足9、m10、≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。【分析】此问题由于常见的思维定势,易把它看成关于x的不等式讨论。然而,若变换一个角度以m为变量,记f(m)=(x2-1)m-(2x-1),则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在[11、-2,2]内恒负时参数x应满足的条件。【解】设f(m)=(x2-1)m-(2x-1),则f(2)2(x21)(2x1)02(x2f(2)1)(2x1)0解得x∈(71,31)22【注】本题有别于关于x的不等式2x-1>m(x2-1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x-1>m(x2-1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。在一个含有多个变量的数学问题中,确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化。例3.设等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0。①.求公差d的取值范围;②.指出S1、S2、⋯、S12中哪一个值最大,12、并说明理由。(xx【分析】①问用an、Sn易求;②问利用Sn是n的二次函数而求什么时候取最大值。【解】全国高考)【注】数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数,因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。【另解②问】(寻求an>0、an1<0):例4.如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在平面,C是圆周上任一点,设∠BAC=θ,PA=AB=2r,求异面直线PB和AC的距离。【分析】异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值,从而设定变量,建立目标函数而求函数最小值。【解】在PB上任取一点M,作MD⊥AC于D,MH⊥AB13、于H,P设MH=x,则MH⊥平面ABC,AC⊥HD。∴MD2=x2+[(2r-x)sinθ]2=(sin2+1)x2-4rsin2θx+4r2sin2θM=(sin2θ+1)[x-2rsin2θ]2+4r2sin2θAHBDC1sin2θ1sin2θ即当x=2rsin2θ时,MD取最小值2rsinθ为两异面直线的距离。1sin2θ12θsin【注】求最大值、最小值的实际问题,将文字说明转化成数学语言后,建立数学模型和函数关系式,利用函数性质、重要不等式和有关知识解答。(见再现性题组第8题)例
3、5°,则此棱锥的侧面积为___________。8.建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,则水池的最低造价为___________。Ⅱ、示范性题组:例1.设a>0,a≠1,试求方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有实数解的k的范围。(xx全国高考)【解】将原方程化为:loga(x-ak)=logax2a2,等价于xak0(a>0,a≠1)xakx2a2∴k=x-(x21(
4、x
5、>1),a)aa设x=cscθ,θ∈(-π,0)∪(0,π),则k=f(θ)=cscθ-
6、ctgθ
7、a22当θ∈(-π,0)时,
8、f(θ)=cscθ+ctgθ=ctgθ<-1,故k<-1;22当θ∈(0,π)时,f(θ)=⋯2综上,k的取值范围是⋯【注】引入新的变量,而用函数值域加以分析,此法可解有关不等式、方程、最值、参数范围之类问题。(分离参数法、三角换元法、等价转化思想)【另解】(数形结合法):【再解】(方程讨论法):例2.设不等式2x-1>m(x2-1)对满足
9、m
10、≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。【分析】此问题由于常见的思维定势,易把它看成关于x的不等式讨论。然而,若变换一个角度以m为变量,记f(m)=(x2-1)m-(2x-1),则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在[
11、-2,2]内恒负时参数x应满足的条件。【解】设f(m)=(x2-1)m-(2x-1),则f(2)2(x21)(2x1)02(x2f(2)1)(2x1)0解得x∈(71,31)22【注】本题有别于关于x的不等式2x-1>m(x2-1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x-1>m(x2-1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。在一个含有多个变量的数学问题中,确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化。例3.设等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0。①.求公差d的取值范围;②.指出S1、S2、⋯、S12中哪一个值最大,
12、并说明理由。(xx【分析】①问用an、Sn易求;②问利用Sn是n的二次函数而求什么时候取最大值。【解】全国高考)【注】数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数,因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。【另解②问】(寻求an>0、an1<0):例4.如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在平面,C是圆周上任一点,设∠BAC=θ,PA=AB=2r,求异面直线PB和AC的距离。【分析】异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值,从而设定变量,建立目标函数而求函数最小值。【解】在PB上任取一点M,作MD⊥AC于D,MH⊥AB
13、于H,P设MH=x,则MH⊥平面ABC,AC⊥HD。∴MD2=x2+[(2r-x)sinθ]2=(sin2+1)x2-4rsin2θx+4r2sin2θM=(sin2θ+1)[x-2rsin2θ]2+4r2sin2θAHBDC1sin2θ1sin2θ即当x=2rsin2θ时,MD取最小值2rsinθ为两异面直线的距离。1sin2θ12θsin【注】求最大值、最小值的实际问题,将文字说明转化成数学语言后,建立数学模型和函数关系式,利用函数性质、重要不等式和有关知识解答。(见再现性题组第8题)例
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