高中数学解题思想方法(函数与方程的思想方法).docx

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1、十、函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。Ⅰ、再现性题组：1.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____。A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)2.如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。A.f(2)

2、(2)

3、5°，则此棱锥的侧面积为___________。8.建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。Ⅱ、示范性题组：例1.设a>0，a≠1，试求方程loga(x－ak)＝loga2(x2－a2)有实数解的k的范围。(xx全国高考)【解】将原方程化为：loga(x－ak)＝logax2a2，等价于xak0（a>0,a≠1）xakx2a2∴k＝x－(x21(

4、x

5、>1）,a)aa设x＝cscθ，θ∈(－π,0)∪(0,π)，则k＝f(θ)＝cscθ－

6、ctgθ

7、a22当θ∈(－π,0)时，

8、f(θ)＝cscθ＋ctgθ＝ctgθ<－1，故k<－1；22当θ∈(0,π)时，f(θ)＝⋯2综上，k的取值范围是⋯【注】引入新的变量，而用函数值域加以分析，此法可解有关不等式、方程、最值、参数范围之类问题。（分离参数法、三角换元法、等价转化思想）【另解】（数形结合法）：【再解】（方程讨论法）：例2.设不等式2x－1>m(x2－1)对满足

9、m

10、≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。【分析】此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，记f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在[

11、-2,2]内恒负时参数x应满足的条件。【解】设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1),则f(2)2(x21)(2x1)02(x2f(2)1)(2x1)0解得x∈（71,31）22【注】本题有别于关于x的不等式2x－1>m(x2－1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1>m(x2－1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。例3.设等差数列{an}的前n项的和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0。①.求公差d的取值范围；②.指出S1、S2、⋯、S12中哪一个值最大，

12、并说明理由。(xx【分析】①问用an、Sn易求；②问利用Sn是n的二次函数而求什么时候取最大值。【解】全国高考)【注】数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。【另解②问】（寻求an>0、an1<0）：例4.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。【分析】异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。【解】在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB

13、于H，P设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD。∴MD2＝x2＋[(2r－x)sinθ]2＝(sin2＋1)x2－4rsin2θx＋4r2sin2θM＝(sin2θ＋1)[x－2rsin2θ]2＋4r2sin2θAHBDC1sin2θ1sin2θ即当x＝2rsin2θ时，MD取最小值2rsinθ为两异面直线的距离。1sin2θ12θsin【注】求最大值、最小值的实际问题，将文字说明转化成数学语言后，建立数学模型和函数关系式，利用函数性质、重要不等式和有关知识解答。（见再现性题组第8题）例