函数与方程的思想方法

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1、十、函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。Ⅰ、再现性题组：1.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____。A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)2.如果函数f(x)＝x＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。A.f(

2、2)

3、.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为___________。8.建造一个容积为8m，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元，则水池的最低造价为___________。Ⅱ、示范性题组：例1.设a>0，a≠1，试求方程log(x－ak)＝log(x－a)有实数解的k的范围。(89年全国高考)【解】将原方程化为：log(x－ak)＝log，等价于（a>0,a≠1）∴k＝－(

4、

5、>1）,设＝cscθ，θ∈(－,0)∪(0,)，则k＝f(θ)＝cscθ－

6、ctgθ

7、当θ∈(－,0)时

8、，f(θ)＝cscθ＋ctgθ＝ctg<－1，故k<－1；当θ∈(0,)时，f(θ)＝…综上，k的取值范围是…【注】引入新的变量，而用函数值域加以分析，此法可解有关不等式、方程、最值、参数范围之类问题。（分离参数法、三角换元法、等价转化思想）【另解】（数形结合法）：【再解】（方程讨论法）：例2.设不等式2x－1>m(x－1)对满足

9、m

10、≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。【分析】此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，记f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数

11、（或常数函数）f(m)的值在[-2,2]内恒负时参数x应满足的条件。【解】设f(m)＝(x－1)m－(2x－1),则解得x∈（,）【注】本题有别于关于x的不等式2x－1>m(x－1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1>m(x－1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。例3.设等差数列{a}的前n项的和为S，已知a＝12，S>0，S<0。①.求公差d的取值范围；②.指出S、S、…、S中哪一个值最大，并说明理由。(92年全国高考)【分析

12、】①问用a、S易求；②问利用S是n的二次函数而求什么时候取最大值。【解】【注】数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。【另解②问】（寻求a>0、a<0）：例4.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。【分析】异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。PMAHBDC【解】在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，M

13、H⊥AB于H，设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD。∴MD＝x＋[(2r－x)sinθ]＝(sin＋1)x－4rsinθx＋4rsinθ＝(sinθ＋1)[x－]＋即当x＝时，MD取最小值为两异面直线的距离。【注】求最大值、最小值的实际问题，将文字说明转化成数学语言后，建立数学模型和函数关系式，利用函数性质、重要不等式和有关知识解答。（见再现性题组第8题）例5.已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tgA·tgC＝2＋，又知顶点C的对边c上的高等于4,求△ABC的三边a、b、c及三内角。【解】由A、B、C成等差数列，可得

14、B＝60°；由△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgA·tgB·tgC，得tgA＋tgC＝tgB(tgA·tgC－1)＝(1＋)设tgA、tgC是方程x－(＋3)x＋2＋＝0的两根，解得x＝1，x＝2＋设A