2015方浩概率强化讲义5

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1、第五章大数定律和中心极限定理（一）切比雪夫不等式2X的数学期望E(X)=，方差DX()都存在，则对任意正数DXPX{}EX2DXPX{EX}12二、大数定律1.依概率收敛对于XX,,X,，12nlimPXna1，则称随机变量序列nXX,,X,依概率收敛于a，记为12nPXan2.切比雪夫大数定律[条件]XX,,X,相互独立；期望EX，12nk方差DX都存在；方差DX有公共上界；kk[结论]对任意0nn11limPXiiEX

2、1.nnnii113.辛钦大数定律[条件]XX,,X,独立；服从同一分布；12n数学期望EX存在k[结论]对于任意0n1limPXk1nnk14.伯努利大数定律[条件]X是n重伯努利试验中事件发生的次数,p是事件在每次试验中发生的概率结论：对任意0XlimPp1nn（三）中心极限定理1.列维--林德伯格中心极限定理[条件]：随机变量XX,,,X,相互独立，12n2同分布,EX,DX0存在kk[结论]：n

3、Xnkt2x1k12limPxenn22.棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理[条件]：随机变量XBnp,n[结论]：对任意实数x2tXnpx1n2limPxedt()xnnp(1p)2.【例】设随机变量X和Y的数学期望分别-2和2，方差分别1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式有PX{Y6}____【例】设随机变量序列XX,,X,相互12n独立且服从参数为的指数分布，下面随机变量序列中不满足切比雪夫大

4、数定律条件是()AX,,XBX1,Xn1n1n1CX,,nXDX,,X1n1nn【P367，例2】设XX,,,X是相互独立12n的随机变量序列，Xk1,2,n,服从k参数为2的指数分布，则当n时n12YXni依概率收敛于____ni1【P368,例1】设随机变量XX,,,X相互12n独立，SXXX,根据列维—林nn12德柏格中心极限定理,当n充分大时,S近似n服从正态分布,只要XX,,,X()12nA有相同数学期望.B有相同的方差C服从同一指数分布D

5、服从同一离散分布【P369,例1】设XX,X为相互独立12n随机变量,且均服从参数为指数分布，则nXni(A)i1limPx()xnnnXni(B)i1limPx()xnnnXni(C)i1limPx()xnnn2Xni(D)i1limPx()xnn【例】设XX,,,X为相互独立随机变量，12n且均服从[,]ab上均匀分布，则（）n2X

6、ina(b)i1近似服从An充分大时，()banN(0,1)nBn充分大时,Xi近似服从i12Nnabnba((),())n1Cn充分大时，Xi近似服从ni12Nabba(,())n1Dn充分大时，Xi近似服从ni12abbaN,212n【P368，例3】一生产线生产的产品成箱包装，假设每箱平均重量为50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.（

7、20.977，其中x是标准正态分布函数）.