微分变换与雅可比

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1、第五章微分变换与雅可比5.1  微分变换为了补偿机器人末端执行器位姿与目标物体之间的误差，以及解决两个不同坐标系之间的微位移关系问题，需要讨论机器人杆件在作微小运动时的位姿变化。一.变换的微分假设一变换的元素是某个变量的函数，对该变换的微分就是该变换矩阵各元素对该变量的偏导数所组成的变换矩阵乘以该变量的微分。若它的元素是变量x的函数，则T的微分为:例如给定变换T为：二.微分运动所以得设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为T，经过微运动后该杆件相对基坐标系的位姿变为T+dT，若这个微运动是相对于基坐标系（静系）进行的(

2、右乘)，总可以用微小的平移和旋转来表示，即根据齐次变换的相对性，若微运动是相对某个杆件坐标系i（动系）进行的(左乘)，则T+dT可以表示为则相对基系有dT=Δ0T，相对i系有dT=TΔi。这里Δ的下标不同是由于微运动相对不同坐标系进行的。所以得令三.微分平移和微分旋转由于微分旋转θ→0，所以sinθ→dθ，cosθ→1，Versθ→0，将它们代入旋转变换通式中得微分旋转表达式:微分平移变换与一般平移变换一样，其变换矩阵为:于是得四.微分旋转的无序性当θ→0时，有sinθ→dθ，cosθ→1．若令δx=dθx，δy=d

3、θy，δz=dθz，则绕三个坐标轴的微分旋转矩阵分别为略去高阶无穷小量两者结果相同，可见这里左乘与右乘等效。同理可得结论：微分旋转其结果与转动次序无关，这是与有限转动（一般旋转）的一个重要区别。若Rot（δx，δy，δz）和Rot（δx‘，δy’，δz‘）表示两个不同的微分旋转，则两次连续转动的结果为：上式表明：任意两个微分旋转的结果为绕每个轴转动的元素的代数和，即微分旋转是可加的。kxdθ=δx，kydθ=δy，kzdθ=δz所以有由等效转轴和等效转角与等效，有即将它们代入Δ得因此Δ可以看成由和两个矢量组成，叫微分

4、转动矢量，叫微分平移矢量。分别表示为和合称为微分运动矢量，可表示为解：例：已知一个坐标系A，相对固定系的微分平移矢量，微分旋转矢量，求微分变换dA。五.两坐标系之间的微分关系因为将它们代入前面的方程现在讨论i系和j系之间的微分关系。不失一般性，假定j系就是固定系（基系）0系。得其中上式简写成对于任何三维矢量，其反对称矩阵定义为：相应地，任意两坐标系{A}和{B}之间广义速度的坐标变换为：例：知坐标系A及相对于固定系的微分平移矢量，微分旋转矢量，求A系中等价的微分平移矢量dA和微分旋转矢量δA。解：因为已知，可以根据前

5、面的公式求得dA和δA。也可根据与它一样的另一组表达式（写法不同）求解，即求得，代入为了验证这一结果，先求ΔA再得dA验证的结果是与上例dA=ΔA的计算结果完全一样。5.2雅可比矩阵5.2.1雅可比矩阵的定义存在怎样的关系？两空间之间的线性映射关系—雅可比矩阵（简称雅可比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比，同时也可以用来表示两空间之间力的传递关系。首先来看一个两自由度的平面机械手，如图所示。两自由度平面机械手容易求得将其微分得写成矩阵形式假设关节速度为，手爪速度为。简写成：dx=Jdθ。式中J就称为

6、机械手的雅可比（Jacobian）矩阵，它由函数x，y的偏微分组成，反映了关节微小位移dθ与手部（手爪）微小运动dx之间的关系。对dx=Jdθ两边同除以dt，得可以更一般的写成。因此机械手的雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空间速度的线性变换。（或v）称为手爪在操作空间中的广义速度，简称操作速度，为关节速度。J若是6×n的偏导数矩阵，它的第i行第j列的元素为：式中，x代表操作空间，q代表关节空间。若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列矢量，即可以看出，雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节

7、以单位速度运动产生的端点速度。由，可以看出，J阵的值随手爪位置的不同而不同，即θ1和θ2的改变会导致J的变化。对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少，这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。上例机械手雅可比矩阵的行列式为：det(J)=l1l2s2当θ2=0°或θ2=180°时，机械手的雅可比行列式为0，矩阵的秩为1，因此处于奇异状态。在奇异形位时，机械手在操作空间的自由度将减少。只要知道机械手的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即可求出，即。上例平面2R机械手的逆雅可比于是得到与末端速度相应的关节速度

8、：显然，当θ2趋于0°（或180°）时，机械手接近奇异形位，相应的关节速度将趋于无穷大。5.2.2雅可比矩阵的构造法雅可比矩阵既可以当成是从关节空间向操作空间的速度传递的线性关系，也可以看成是微分运动转换的线性关系，即将手爪的线速度和角速度表示为各关节速度的线性函数：一、矢量积的方法(1)对于移动关节i，则(2)对于转动关节i，则式中，表示手爪