雅可比θ的函数

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1、雅可比θ的函数雅可比θ的函数是椭圆的类似物指数函数,可以用来表达雅可比椭圆函数。θ的函数是quasi-doubly周期,通常表示在现代文本,尽管符号和(Borwein和Borwein1987)有时也使用。惠塔克和华生(1990,第487页)给出了表总结符号使用的各种早期的作家。θ的函数得到的Wolfram语言通过EllipticTheta(nz,q),并给出其衍生品EllipticThetaPrime(nz,q)。对理想气体平动配分函数可以使用椭圆θ的函数(黄金1961,pp。119年和133年,Melzak1973,p.122;Levine2002,p.8

2、38)。θ的函数可以表达的省,表示,或者是半周期比,表示,在那里和和是相关的(1)让多值函数被解释为代表。然后一个复数雅可比θ的函数被定义为(2)(3)(4)(5)单独写双无限金额作为无限的资金给稍微不那么对称的形式(6)(7)(8)(9)(10)(11)(惠塔克和沃森1990,页1990-464)。明确写出系列(12)(13)(14)(15)(Borwein和Borwein1987,52页,惠塔克和华生1990,p.464)。是一个奇函数的甚至,而其他三个功能 .下面的表说明了quasi-double周期性的雅可比θ的函数。11在这里,(16)准周期可以建

3、立如下的具体情况 ,(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)雅可比θ彼此的函数可以写成:(25)(26)(27)(惠塔克和沃森1990,p.464)。任何雅可比θ的函数给定的参数可以用其他两个雅可比θ的函数来表示相同的参数。的函数和满足身份(28)定义(29)雅可比θ的函数参数,上面绘制。然后双无限金额(◇)(◇)特别简单的形式(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(OEISA089800,A000122,A002448;Borwein和Borwein1987,p.33)。这个函数也给出了(37)在哪里是一个q-Po

4、chhammer象征.这个函数(38)(39)(40)有时是数论中定义的上下文(达文波特1980,p.1980)。同样地,函数(41)(42)有时也定义(爱德华兹2001年,p.15)。这个函数满足(43)爱德华兹(雅可比黎曼1828;1828;2001年,15页),雅可比属性泊松和遵循的泊松求和公式。也满足了身份(44)(爱德华兹2001年,p.17)。特殊值包括(45)和(46)在哪里是γ函数,大多数都是特殊情况的Ramanujanθ的函数.一个特殊的导数值由于o.Marichev(per。2008年7月)是由通讯(47)上面的情节展示了雅可比θ的函数绘

5、制的函数参数和省局限于真实值。特别美丽的情节,通过检查真正的和虚部的固定在复平面,如上图。雅可比θ的函数满足一个几乎令人困惑地大量涉及四个功能的身份,他们的衍生品,他们的论点的倍数,总结自己的观点。之间的不同寻常的身份维特克和沃森(1990)(48)(49)(惠塔克和沃森1990,p.464)(50)(51)(惠塔克和沃森1990,p.465),,……4,和。一类身份涉及广场雅可比θ的函数(52)(53)(54)(55)(惠塔克和沃森1990,p.466)。采取在(55)给出了特殊情况(56)这种类型的唯一标识。此外,(57)(58)雅可比θ的函数服从规则等

6、(59)(60)(61)(62)(63)(64)(65)(66)(惠塔克和沃森1990,p.487),(67)(68)(69)(70)(71)(72)(73)(74)(惠塔克和沃森1990,p.488),和(75)(惠塔克和沃森1990,p.488)。也有一系列的复制公式:(76)(77)(78)(79)(80)(81)(惠塔克和沃森1990,p.488)。比雅可比θ的函数导数函数本身的简单形式(82)(83)(84)(85)(86)(87)(88)(89)(惠塔克和沃森1990,p.489)。雅可比θ的函数可以表示为产品,而不是资金(90)(91)(92)

7、(93)在哪里(94)(惠塔克和沃森1990,页1990-470)。额外的美丽产品(“欧拉”)表单是由Zucker(1990),部分总结在下表中,(95)和q-products都写 , ,, .θ的函数斯隆欧拉雅可比矩阵A000122A002448A089798A089799A089800A089801A089802A089805A080995A089806A089807A089810A089811A089812A089813额外的身份包括(96)(97)在这里,(98)(OEISA089814).雅可比θ功能满足偏微分方程(99)在哪里。比雅可比θ的函数在

8、分母也满足微分方程(100)(101)(102)雅可