雅可比行列式

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1、§11.2.函数行列式教学目的掌握函数行列式．教学要求(1)．掌握函数行列式(2)能用函数行列式解决一些简单的问题一、函数行列式由到R的映射（或变换）就是n元函数，即，或由到的映射（或变换）就是n个n元函数构成的函数组，即，或表为，设它们对每个自变量都存在偏导数，行列式（2）称为函数组在点的雅可比行列式，也称为函数行列式，表为.例：求下列函数组（变换）的函数行列式：1.极坐标变换42.柱面坐标变换.3.球面坐标变换二、函数行列式的性质为了简单起见，仅就n=2的情形加以讨论，所有结果对任意自然数n都是正确的.已知一元函数与的复合函数的导数是，与它类似的有：定理

2、1.若函数组有连续的偏导数，而也有连续偏导数，则.证明：由复合函数的微分法则，有4由行列式的乘法，有.若一元函数在点某邻域具有连续的导数，且.由连续函数的保号性，在点某邻域保持同一符号，因而在函数严格单调，它存在反函数，且和它类似的有：定理2.若函数组有连续的偏导数，且，则存在有连续偏导数的反函数组，且证明：§11.1.定理3的推论已给出存在连续偏导数组的证明.下面证明（3）式成立.在定理1中，令，有，即，.三、函数行列式的几何性质4一元函数是到的映射.取定一点，它的象是.当自变量x在点有改变量，相应y在有改变量.线段的长与线段的长之比称为映射f在到的平均伸

3、缩系数，若当时平均伸缩系数存在极限，即，则称是映射f在点的伸缩系数.由此可见，一元函数在点的导数的绝对值有新的几何意义：它是映射f在点的伸缩系数.同样，到的变换也有类似的几何意义.定理3.若函数组在开区域G存在连续的偏导数，且，有.函数组将xy平面上开区域G变换称uv平面上的开区域.点变换成uv平面上点，则包含点的面积微元与对应的包含点的面积微元之比是，即.4