附录l张量记法

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1、附录Ⅰ：张量的概念与坐标变换张量1.定义：一些矢量的分量（如力）和坐标轴的选取有关，这种与坐标变换有关，满足坐标变换公式的物理量称为张量。张量是对矢量的一种描述：一个矢量如果能用30=1个分量描述则称为零阶张量，即标量。一个矢量如果能用31=3个分量描述则称为一阶张量，如速度、位移等；一个矢量如果能用32=9个分量描述则称为二阶张量，如应力、应变等。把x,y,z轴，记为x1,x2,x3,矢量的三个坐标通常可简记为xi（i=1，2，3）,各轴的基矢量记为e1,e2,e3,可简记为ei,在此坐标系中的矢量v的分量记为v1,v2,v3,可简记为vi,应力分量记为可简记

2、为σij.力f在位移s上做功最后一个等式在符号∑下fisi有两个同样的指标i。约定凡在一项中有一对相同的指标，就认为是对这一指标全程求和，求和符号略去不写：3.Einstein求和约定2.指标符号求和所得到的结果，不再含有这一指标，这一指标换为其它的指标也不会影响其结果，这一指标称为哑标。但重复次数超过两次则不再具有求和意义。一项中有其它符号的指标，通常有泛指的意义，称为自由标。应特别强调以下几点：(1)对于不只重复一次的指标，求和约定无效，如要表示求和，仍需借助求和符。当自由指标恰好在同一项中重复出现一次时，为避免混淆，应声明对该指标不求和。(2)哑标的有效范

3、围仅限于本项。(3)多重求和可采用不同的哑标表示。(4)哑标可以局部地成对替换。自由指标必须整体换名，即把表达式中出现的同名自由指标全部改为同一个新名字，而不会影响它的含义。记基矢的点积为ei·ej=δij4.Kronecker符号矢量的点积：一个矢量和另一个矢量的点积可以决定一个标量，也可以用指标符号标记3．求导数的简记方法微分算符简记为其中具有如下性质：当i，j，k有两个或三个相同当i,j,k为偶置换当i,j,k为奇置换5.置换符号（1）矢量的叉积用置换符号两基矢量的混合积记为(ei×ej）·ek=eijk（1）行列式将求导符号简记为梯度可记为则散度可记为设

4、新坐标系的新坐标轴的基矢e1‘、e2’、e3‘对原基矢e1、e2和e3的变换矩阵为[lij]=l，矢量为一阶张量，矢量分量的坐标变换公式为[vi’]=l[vi]用指标符号记为张量的定义：标量与坐标轴的选取无关，但矢量分量和应力分量和坐标轴的选取有关，这种与坐标变换有关，满足坐标变换公式的物理量称为张量。以平面应力状态为例，设新坐标系由原坐标系逆时针转动θ而成，新坐标轴的基矢e1'、e2'对原基矢e1、e2的过渡矩阵为式[lij]=l，则坐标变换公式[σi'j']=l[σij]lT应力分量为二阶张量，应力分量的坐标变换公式为用指标符号记为其展开形式为平面应力状态的

5、主应力和主方向可按照材料力学的方法求得，空间应力状态可按照线性代数的方法。应力分量根据切应力互等定理，为对称张量。当坐标系变化时，应力分量也发生变化，当坐标系转动到某些位置时，应力分量中切应力为零，仅有正应力不为零，这些正应力称为主应力。这时坐标系所指方向为主方向。从变换的角度来说，主应力是应力矩阵的特征值，主方向是特征向量的方向。可参看Mathcad.