附录1-张量基础

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1、附录1笛卡儿张量在三维笛卡儿（Descartes）坐标系中，满足一定变换关系并且与坐标相关的独立变量集合，通常可以使用张量（tensor）表示。弹性力学问题涉及的基本未知量及其偏导数集合可以通过张量符号描述。应用张量可以将大量的符号和公式的描述简化。因此，目前学术论文和技术资料普遍采用张量描述固体力学的基本方程和相关公式。介绍张量的基本定义和概念。如果需要有关张量的详细资料，请查阅参考资料。§1张量的定义在三维笛卡儿坐标系中，一个含有三个与坐标相关的独立变量集合，通常可以用一个下标表示。例如，物体上任一点的

2、位置坐标x,y,z可以表示为x1，x2，x3，缩写记为xi，i=1,2,3。对于物体上任一点的位移分量u，v，w可以表示为u1,u2,u3，缩写记为ui，i=1,2,3。在三维笛卡儿坐标系中，对于一个含有9个独立变量的集合，可以用两个下标来表示。例如aij，i,j=1,2,3。同样，在三维笛卡儿坐标系中，一个含有27个独立变量的集合可以用三个下标表示。如aijk，i,j,k=1,2,3；而一个含有81个独立变量的集合可以用四个下标表示，如aijkl，i,j,k,l=1,2,3。依次可以类推。为了给张量一个确

3、切的定义，首先讨论矢量定义。在坐标系Ox1x2x3中。矢量OP的三个分量1，2，3可以缩写作i，同一矢量OP在新坐标系Ox'1x'2x'3中，写作1'，2'，3'，缩写为i'。设坐标系Ox1x2x3与Ox'1x'2x'3的夹角方向余弦如下表所示xxx123xnnn11'11'21'3xnnn22'12'22'3xnnn33'13'23'3方向余弦ni'j的第一下标对应于新坐标轴，而第二下标对应于原坐标轴。则矢量在新老坐标系中的关系为nnn11'11'2'12

4、'3'13'nnn21'21'2'22'3'23'nnn31'31'2'32'3'33'或者nnn1'1'112'123'13nnn2'1'212'223'23nnn3'1'312'323'33上式可以缩写为kni'ki'或者i'ni'kki'k考察矢量A(a1,a2,a3)和OP(1,2,3)，作它们的标量积，则AOPAOPcos(A,OP)akkk显然，此标量积与坐标轴的选取无关，如果上述矢量作坐标变换

5、，则akkakkkk反之，如'为已知矢量，而ai为与坐标有关的三个标量，使一次形式Fakk在坐标变换时保持不变。根据矢量定义，则ai也是矢量。k1推广上述的命题，可以给张量一个解析的定义。设(1,2,3)和(1,2,3)是矢量，aij是与坐标有关的九个量，若当坐标变换时，双一次形式Faijijij保持不变，则称由两个下标i，j确定的九个量的集合aij为二阶张量。aij中的每一个分量被称作张量（对于指定的坐标系）的分量。根据上述定义，可以推导出坐标变换时张量分

6、量的变换规律。由题设条件，当坐标变换时，有aijijakmkmijkm代入坐标变换关系，则aijni'kknj'mm(aijni'knj'm)kmijkmkmi'j'注意到akmaijni'knj'mi'j'回代可得aijakmni'knj'mkm上式给出了二阶张量的变换关系。以此可以作为判别一个具有两个下标的9个量aij是否为二阶张量。应力分量ij和应变分量ij都是满足这一变换规律的，因此，它们分别组成了二阶张量。

7、同理可定义三阶乃至n阶张量。例如，对于三阶张量，可以这样定义,设(1，2，3)，(1，2，3)和(1，2，3)是矢量，aijk是与坐标有关的27个量，若当坐标变换时，三一次形式Faijkijkijk在坐标变换中保持不变，则称由三个下标i，j，k确定的27个量的集合aijk为三阶张量。三阶张量的变换规律为alkmaijkni'lnj'mnknij'k'或者aijkaijkni'inj'jnkkij'k'由此，通过矢量，也就是一阶张量，做出了张

8、量的解析定义。满足上述张量关系式的物理量集合为张量。§2求和定约由于张量是由许多分量所组成的有序整体，所以就有必要引入某些必不可少的约定，以简化其表达和运算形式。在张量表达式中，有大量的求和符号，例如3Aakka11a22a33k1在求和符号内，求和元素下标均出现两次。因此，对求和公式的写法进行简化。求和约定：凡是张量表达式中，同一项内的一个下标出现两次，则对此下标从1到3求和（平面问题从1到