弹性理论相关张量基础

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1、主要内容-清华大学冯西桥教授整理高等弹性理论－附录引言弹性理论相关张量分析张量的基本概念，爱因斯坦求和约定符号ij与erst坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商法则常用特殊张量，主方向与主分量张量基本概念张量基本概念标量（零阶张量）矢量（一阶张量）例如：质量，温度位移，速度，质量密度加速度，力，法向矢量，等应变能密度等符号体系•参考•惯例1ij其值与坐标系选取无关。eeij0ij用黑体或加上箭头表示AppendixA.1AppendixA.1张量基本概念张量基本概念矢量矢量矢量u在

2、笛卡尔坐标系中分解为既有大小又有方向性的物理量;3uu11eu22eu33euiei其分量与坐标系选取有关，满i1足坐标转换关系；其中u1,u2,u3是u的三个分量，遵从相应的矢量运算规则e1,e2,e3是单位基矢量。AppendixA.1AppendixA.1张量基本概念张量基本概念矢量(可推广至张量)的三种记法：指标符号用法1.三维空间中任意点P的坐标（x,y,z）可缩写成xi,实体记法：u其中x1=x,x2=y,x3=z。3分解式记法：uueueueuei2.两个矢量a和b的分量

3、的点积(或称数量积)为：112233ii13ab=ab11ab22ab33abii分量记法：ui1iAppendixA.1AppendixA.1张量基本概念张量基本概念爱因斯坦求和约定由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，ab=ba=abii则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复的指标称为哑指标，简称哑标。由于哑标i仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。3例如：uu11eu22eu33euiei=uieii1ab=a

4、bjjabmm3ab=ab11ab22ab33ababii=ii只要指标j或m在同项内仅出现两次，且取值范围i1和i相同。AppendixA.1AppendixA.1张量基本概念张量基本概念拉丁指标约定：如果不标明取值范围，则拉丁指标i,j,k,…表示u=ueueueueii112233三维指标，取值1,2,3;希腊指标,,,…均为二维指ab=ab=abababkk112233标，取值1,2。希腊指标u=ueueue1122ab=ab=abab1122张量基本概念张量基

5、本概念二阶（或高阶）张量的来源二阶张量应变，应力，速度梯度，变形梯度，等。描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量三阶张量低阶张量的梯度压电张量，等。低阶张量的并积四阶张量更高阶张量的缩并等。弹性张量，等。AppendixA.1AppendixA.1张量基本概念张量基本概念应力张量张量的三种记法：实体记法：eeeeee分解式记法：111112121313+eeeeee212122222323+eeeeee313132323333分量记法：ij用黑体或加下横线表示A

6、ppendixA.1AppendixA.1张量基本概念张量基本概念爱因斯坦求和约定例如一点的应力状态要用应力张量来表示，它是具ijnji11ni22ni33nTi有二重方向性的二阶张量，记为(或)。矢量和标量是特殊的张量，矢量为一阶张量，标量111n122n133nT1为零阶张量。nnnT2112222332nnnT3113223333AppendixA.1AppendixA.1张量基本概念张量基本概念★在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得★自由指标表

7、示：若轮流取该指标范围内的任何值，在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指关系式将始终成立。标。例：xax若i为自由指标例如：表达式iijjf0在自由指标i取1，2，3时该式始终成立，即有jij,ixaxaxaxax11111221331jjjij,fii0x2ax211ax222ax233ax2jjxaxaxaxax33113223333jjAppendixA.1AppendixA.1张量基本概念张量基本概念★同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由

8、指标应防止重名。★指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维空间中线元长度ds和其分量dxi之间的关系f0jij,i2222dsdx1dx2dx3★自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现2的同名自由指标全部改成同一个新名字。可简写成：dsdxidxi场函数f(x1,x2,x3)的全微分：jij,fi0