张量CP分解_半正定张量和范德蒙张量_徐常青

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1、第33卷第2期苏州科技学院学报（自然科学版）Vol．33No．22016年6月JournalofSuzhouUniversityofScienceandTechnology（NaturalScience）Jun．2016张量CP分解、半正定张量和范德蒙张量12徐常青，祁力群（1.苏州科技大学数理学院，江苏苏州215009；2.香港理工大学应用数学系，中国香港999077）摘要：张量，又称超矩阵，是矩阵的高阶推广。首先介绍张量基本概念（包括张量的特征值和张量的行列式等）和张量的基本运算（主要是张量乘积），重点介绍张量秩－1分解、半正定张量、Hank

2、el张量和Vandermonde张量的最新研究进展。关键词：张量；张量分解；Hankel张量；Vandermonde张量；半正定张量中图分类号：O151MR（2000）SubjectClassification：15A72文献标志码：A文章编号：1672－0687（2016）02－0001－071张量的基本理论张量首先作为一个物理量出现在相对论、流体力学、动力学和电磁学等应用领域。作为一个数学名词，它是19世纪由Gauss、Riemann和Christoffel等人在研究微分几何学时提出；20世纪初，Ricci，Levi-Civita等人将张量分

3、析发展成一个数学分支。1916年，爱因斯坦应用张量研究并提出划时代的广义相对论，使张量[1]分析成为研究理论物理、力学及其他学科的重要工具。1927年，Hitchcock开始研究高阶张量的秩－1分解，[2]1966年，Tucker对3阶张量秩-1分解进行了系统研究，1970年，Harshman称张量秩-1分解为PARAFAC[3]分解，并用张量给出统计学中的多因子分析模型及模型求解方法。关于对称张量特别是半正定张量谱性质[4-11]及其秩-1分解研究主要来自于祁力群和L.H.Lim从2005年至2010年期间的研究工作，而特殊结构张[9，12-1

4、6]量如Hankel张量、Cauchy张量、Hilbert张量、B-张量和M-张量是近几年才开始被人们所关注和研究；具非负性张量如完全正张量（completelypositivetensor）、全正张量（totallypositivetensor）和协正张量（coposi-[8－9，14]tivetensor）研究起始于2014年，关于元素非负张量研究的关键突破来自于2008年张恭庆院士等人将[17]Perron-Frobenius定理推广至非负张量方面的系列结果。一个m阶张量A是一个有m个方向（或维度）的数组，A的每个元通过m个下标索引来确定其

5、位置。如一个数为0阶张量，一个向量为1阶张量，而矩阵为2阶张量。物理和力学研究中的一个关键概念是与其张量有关的不变量，即不随参照系改变的物理量或几何量。如向量作为1阶张量，它的一个不变量为其长度或模，而2阶张量———矩阵的特征值（奇异值）为其主要不变量。nm×n记n维实向量空间为R，R为由m×n实矩阵构成的线性空间，它同构于一个n维实向量空间V到一n1×n2×n3×n4n1×n2n3×n4个m维实向量空间U的全体线性变换构成的集合。类似，一个4阶张量A∈R可视为R到R的线性变换（ni为任意正整数）。一般，记一个大小I1×I2×…×Im的m阶张量A

6、为I1×I2×…×ImA=（A）∈R（1）i1i2…im————————————[收稿日期]2015－12－30[基金项目]国家自然科学基金重大项目(61190114/F0102)；香港政府研究基金资助项目（PolyU502111；501212；501913；15302114）[作者简介]徐常青（1966-），男，安徽安庆人，教授，博士，研究方向：张量分析与应用。祁力群（1946-）,男，江苏扬州人，教授，博士,博士生导师，研究方向：计算数学与张量分析；俄罗斯Petrovskaya科学院外籍院士、美国密执根大学及中国科学院应用数学所客座教授、澳大

7、利亚Curtin科技大学教授。2苏州科技学院学报（自然科学版）2016年其中A在第i维度（i-way）对应的维数（dimension）为ni。当m>2时，A称为一个高阶张量（或超矩阵）。若I1=I2=…=Im＝n，则称A为m阶n维张量（m阶超立方体）。全体m阶n维实张量构成的集合记为Tm；n。A在第k（k）方向的第i个切片（Ai）定义为固定A的第k个下标ik=i后得到的m-1阶张量。注意（1）式中的A在k-方向有Ik个切片。m一个m阶n维张量A（或称超矩阵）可视为[n]到复数域C的一个映射。为方便，记[n]：={1，2，…，n}，且mS=S××S

8、×××…×××S，其中S为一个给定集合。m物理中出现的张量多数情况下被理解为一个物理量，而几何意义下的张量一般为一个Hilbert空间H