张量分解学习.ppt

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1、张量分解彭毅1基本概念及记号2张量（tensor）多维数组基本概念及记号3一阶张量（向量）二阶张量（矩阵）三阶张量张量空间由若干个向量空间中的基底的外积张成的空间基本概念及记号4向量的外积和内积阶（order/ways/modes/rank）张成所属张量空间的向量空间的个数一阶张量（向量）：二阶张量（矩阵）：三阶或更高阶张量：零阶张量（数量）：基本概念及记号5三阶张量：纤维（fiber）基本概念及记号6mode-1（列）纤维：mode-2（行）纤维：mode-3（管）纤维：切片（slice）基本概

2、念及记号7水平切片：侧面切片：正面切片：内积和范数设内积：（Frobenius）范数：基本概念及记号8秩一张量/可合张量N阶张量是一个秩一张量，如果它能被写成N个向量的外积，即基本概念及记号9三阶秩一张量：（超）对称和（超）对角立方张量：各个mode的长度相等对称：一个立方张量是对称的，如果其元素在下标的任意排列下是常数。如一个三阶立方张量是超对称的，如果对角：仅当时，基本概念及记号10张量的（超）对角线展开（matricization/unfolding/flattening）将N阶张量沿mod

3、e-n展开成一个矩阵基本概念及记号11三阶张量的mode-1展开n-mode（矩阵）乘积一个张量和一个矩阵的n-mode乘积，其元素定义为这个定义可以写成沿mode-n展开的形式性质：基本概念及记号12n-mode（向量）乘积一个张量和一个向量的n-mode乘积，其元素定义为性质：基本概念及记号13矩阵的Kronecker乘积，则性质：基本概念及记号14矩阵的Kronecker乘积矩阵的Kronecker积还和张量和矩阵的n-mode乘积有如下关系基本概念及记号15矩阵的Khatri-Rao乘积，

4、则性质：基本概念及记号16矩阵的Hadamard乘积，则性质：基本概念及记号17CP分解18CP分解的其他名字PolyadicFormofaTensor,Hitchcock,1927PARAFAC(ParallelFactors),Harshman,1970CANDECOMP/CAND(Canonicaldecomposition),Carroll&Chang,1970TopographicComponentsModel,Möcks,1988CP(CANDECOMP/PARAFAC),Kiers,

5、2000CP分解19CP分解的张量形式将一个张量表示成有限个秩一张量之和，比如一个三阶张量可以分解为CP分解20三阶张量的CP分解CP分解的矩阵形式因子矩阵：秩一张量中对应的向量组成的矩阵，如利用因子矩阵，一个三阶张量的CP分解可以写成展开形式CP分解21CP分解的切片形式三阶张量的CP分解有时按（正面）切片写成如下形式：其中CP分解22三阶张量CP分解的正面切片形式带权CP分解为了计算方便，通常假设因子矩阵的列是单位长度的，从而需要引入一个权重向量，使CP分解变为对于高阶张量，有其展开形式为CP

6、分解23张量的秩和秩分解张量的秩定义为用秩一张量之和来精确表示所需要的秩一张量的最少个数，记为秩分解：可见秩分解是一个特殊的CP分解，对应于矩阵的SVD目前还没有方法能够直接求解一个任意给定张量的秩，这被证明是一个NP-hard问题CP分解24张量的秩不同于矩阵的秩，高阶张量的秩在实数域和复数域上不一定相同。例如一个三阶张量在实数域内进行秩分解得到的因子矩阵为而在复数域内进行分解得到的因子矩阵为CP分解25张量的低秩近似相对于矩阵的SVD来说，高阶张量的秩分解唯一性不需要正交性条件保证，只需满足：

7、这里表示矩阵的k-秩：任意k列都线性无关的最大的kCP分解26张量的低秩近似然而在低秩近似方面，高阶张量的性质比矩阵SVD差Kolda给出了一个例子，一个立方张量的最佳秩-1近似并不包括在其最佳秩-2近似中，这说明张量的秩-k近似无法渐进地得到下面的例子说明，张量的“最佳”秩-k近似甚至不一定存在CP分解27张量的低秩近似退化：如果一个张量能够被一系列的低秩张量任意逼近边缘秩（borderrank）：能够任意逼近一个张量的最少的成分个数CP分解28秩2秩3一个秩为2的张量序列收敛到一个秩3张量CP

8、分解的计算分解成多少个秩一张量（成分）之和？通常的做法是从1开始尝试，知道碰到一个“好”的结果为止如果有较强的应用背景和先验信息，可以预先指定对于给定的成分数目，怎么求解CP分解？目前仍然没有一个完美的解决方案从效果来看，交替最小二乘（AlternatingLeastSquare）是一类比较有效的算法CP分解29CP分解的计算以一个三阶张量为例，假定成分个数已知，目标为作为ALS的一个子问题，固定和，求解得再通过归一化分别求出和CP分解30CP分解的计算ALS算法并不能保证收敛到一