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1、随机信号分析第3章平稳性与功率谱密度8/18/20211/117第3章平稳性与功率谱密度有一类极为重要的随机信号，它的主要（或全部）统计特性关于参量保持“稳定不变”，这种随机信号被称为平稳随机信号。本章讨论：1）严格与广义平稳性；循环平稳性；2）平稳信号相关函数的特性；有关物理意义；3）平稳信号的功率谱密度与互功率谱密度；4）白噪声及其实例——热噪声8/18/202123.1平稳性与联合平稳性3.2*循环平稳性3.3平稳信号的相关函数3.4功率谱密度与互功率谱密度3.5白噪声与热噪声3.6应用举例8/18/202133.1平稳性与联合平稳性平稳性（Station
2、arity）:平稳性是指随机信号的统计特性不随观察时刻t（或观察时刻组t1,t2,…,tn）平移而变化的性质，相应的随机信号被称为平稳随机信号。例：8/18/202148/18/202153.1.1严格平稳与广义平稳随机信号定义3.1若对于任意的，随机过程{X(t),t∈T}的任意n维概率分布函数满足则称X(t)是严格平稳随机信号,记作SSSR.S1.严平稳随机过程SSSR.S.强平稳随机信号狭义平稳随机信号8/18/20216严平稳随机信号也可以由概率密度来定义：8/18/20217b.时刻组平移时，时刻组间的相对位置不变，即任意n维概率分布函数与时刻组的起始
3、位置无关，而只与其相对位置有关。注意：a.8/18/20218SSSR.S.X(t)的特性(1)SSSR.S.X(t)的一维概率分布、密度函数与时间t无关；如果其均值与方差存在，它们也与时间t无关，即：一阶平稳8/18/20219一阶密度函数平稳性示例：SSS.R.S由同分布随机变量组成8/18/202110均值均为0，均值平稳，但各时刻的R.V.的分布不同。可见一阶平稳一定均值平稳，但均值平稳不一定一阶平稳。常数常数8/18/202111(2)SSSR.S.X(t)的二维概率分布、密度函数与两时刻组的绝对位置(t1,t2)无关，只与相对位置有关。()证明：8/
4、18/202112(3)如果SSSR.S.X(t)的相关函数、协方差函数、相关系数存在，它们也只与两时刻的相对位置有关，而与两时刻组的绝对位置(t1,t2)无关。8/18/2021138/18/202114通常采用的等价形式，为相对时间，是核心变量，t称为绝对位置。如：8/18/2021152.广义平稳随机过程WSSR.S.定义3.2若R.S.的均值和相关函数存在，并且满足：①均值为常数；即②相关函数与两时刻(t1,t2)的绝对值无关，只与相对差有关，即则称X(t)是广义平稳随机信号,记作WSSR.S.弱平稳随机信号宽平稳随机信号8/18/2021163.严格平
5、稳性与广义平稳性之间关系：定理3.1如果某高斯信号是广义平稳信号，则该信号也是严格平稳信号。关于随机序列的平稳性问题，只需要将连续时间变量t换为离散时间n8/18/202117平稳性是随机信号的统计特性对参量（组）的移动不变性，即平稳随机信号的测试不受观察时刻的影响；应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号；严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论研究中；经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理条件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号是平稳的。非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号来处理。如语音信号，人们普遍实施
6、10－30ms的分帧，再采用平稳信号的处理技术解决有关问题。说明：8/18/202118例3.1设独立高斯随机信号U(t)的一阶概率密度函数为其中a与σ为常数。试分析其平稳性。8/18/202119解：故U(t)一阶平稳,依题：与t无关，故X(t)是SSS.R.S.,又因为X(t)是高斯信号，故它也是WSS.R.S.一般，一阶平稳的独立R.S.是严平稳的R.S.8/18/202120例：热噪声的取样观察值为，是一随机序列，它具有以下性质：（1）相互独立；（2）是分布，（即每一时刻取值连续、高斯）判断的平稳性；8/18/202121X(n)是Gauss.R.S.常
7、数RX(n1,n2)只与其相对位置n1-n2有关解：8/18/2021221.(0,1)贝努里随机信号常数R(n1,n2)与n1,n2的绝对位置无关，只与其相对位置有关，故也广义平稳与n无关，是严格平稳信号。8/18/2021232.随机正弦信号R(t1,t2)与t1,t2的绝对位置无关，只与其相对位置有关，故广义平稳常数，是确定量，独立，服从参数为的瑞利分布，。8/18/2021243.(-1,1)半随机二进制传输信号R(t1,t2)与t1,t2的绝对位置有关，故非广义平稳常数也非严平稳随机二进制传输信号却是严平稳的R.S.8/18/202125补充例：随机信
8、号X(t)=Ay(t)，
