平稳随机信号的功率谱-频域特征

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1、第2章平稳随机信号的谱分析本章要解决的问题随机信号是否也可以应用频域分析方法?傅里叶变换能否应用于随机信号？相关函数与功率谱的关系功率谱的应用采样定理白噪声的定义7/20/202122.1随机信号的谱分析一、预备知识1.付氏变换设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t)满足在范围内满足狄利赫利条件绝对可积，即信号的总能量有限，即有限个极值有限个断点断点为有限值7/20/20213则的傅里叶变换为：其反变换为：称为的频谱密度，也简称为频谱。包含：振幅谱相位谱7/20/20214常见的傅立叶变换7/20/20215

2、2.帕塞瓦等式即能量谱密度7/20/20216二、随机信号的功率谱密度应用截取函数7/20/20217当x(t)为有限值时，的傅里叶变换存在应用帕塞瓦等式除以2T取集合平均7/20/20218令，再取极限，交换求数学期望和积分的次序功率Q非负存在（1）Q为确定性值，不是随机变量（2）为确定性实函数。注意：7/20/20219两个结论：1表示时间平均若平稳27/20/202110例1：设随机信号，其中皆是实常数，是服从上均匀分布的随机变量，求随机信号的平均功率。解：不是宽平稳的7/20/2021117/20/202

3、112功率谱密度：描述了随机信号X(t)的功率在各个不同频率上的分布——称为随机信号X(t)的功率谱密度。对在X(t)的整个频率范围内积分，便可得到X(t)的功率。对于平稳随机信号，有：7/20/202113三、功率谱密度与自相关函数之间的关系确定信号：随机信号：平稳随机信号的自相关函数功率谱密度。1.维纳—辛钦定理若随机信号X(t)是平稳的，自相关函数R(τ)以及τR(τ)绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：7/20/2021142.证明：我们允许自相关函数和功率谱密度中存在δ函数7/20/

4、202115设则所以：7/20/202116则(注意绝对可积，第二项为0)7/20/202117推论：对于一般的随机信号X(t)，有：平均功率为：利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳—辛钦定理表示成：7/20/2021183．单边功率谱由于实平稳过程x(t)的自相关函数是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。有时我们经常利用只有正频率部分的单边功率谱。7/20/202119X(t)变换的功率谱密度7/20/202120例2：平稳随机信号的自相关函数为，A>0，，求过程的功率谱密度。解：应将积分按

5、＋和－分成两部分进行7/20/202121例3：设为随机相位随机信号其中，为实常数为随机相位，在均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随机信号，自相关函数为求的功率谱密度。7/20/202122解：注意此时不是有限值，即不可积，因此的付氏变换不存在，需要引入函数。7/20/202123例4：设随机信号，其中皆为常数，为具有功率谱密度的平稳随机信号。求过程的功率谱密度。解：7/20/202124例5：设随机信号，其中是概率密度为的随机变量，a和φ为实常数，求X(t)的功率谱密度。7/20/202125四、平稳随机信

6、号功率谱密度的性质1.功率谱密度为非负的,即证明：2.功率谱密度是的实函数7/20/2021263.对于实随机信号来说，功率谱密度是的偶函数，即证明：是实函数又7/20/2021274.功率谱密度可积，即证明：对于平稳随机信号，有：平稳随机信号的均方值有限7/20/2021282.2联合平稳随机信号的互谱密度一、互谱密度考虑两个平稳实随机信号X(t)、Y(t)，它们的样本函数分别为和，定义两个截取函数、为：7/20/202129因为、都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。在时间范围(-T，T)内，两个随

7、机信号的互功率为:（注意、为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均）由于、的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即:7/20/202130注意到上式中，和是任一样本函数，因此具有随机性，取数学期望，并令得：7/20/202131定义互功率谱密度为：则7/20/202132同理，有：且7/20/202133二、互谱密度和互相关函数的关系若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有即对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的实随机信号，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。7/20/202134三、互谱密

8、度的性质性质1：证明：（令）7/20/202135性质2：证明：同理可证7/20/202136性质3：证明：类似性质2证明。性质4：若X(t)与Y(t)正交，则有证明：若X(t)与Y(t)正交，则所以7/20/202137性质5：若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分别具有常数均值和，则证明：因为X(t)与Y(t)不相关，所以（）7/20/202138例6：设两