随机信号的功率谱密度

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1、第四章随机信号的功率谱密度§1功率谱密度信号可用能量特征来加以区别。能量信号：总能量为有限值而平均功率为零的信号；功率信号：平均功率为有限值而总能量为无穷大的信号。例如：若,,则信号能量为：，平均功率为：若,,则总能量为：能量信号平均功率：功率信号确知信号的能量谱密度与功率谱密度∵非周期信号的能量为：其中,为一付氏变换对;Parseval定理。故为能量谱密度函数，由能量与平均功率的关系由此可定义其功率谱密度函数为：。∴若为一功率信号，则其功率谱密度函数为问题：对确知的功率信号有上述的结论。而对功

2、率型的平稳随机信号情况如何呢？设为功率型平稳随机信号。由于随机信号的每一样本函数（或实现）都是一个确定的时间函数，因此，对于每个样本函数都可以求得对应的功率谱密度函数，即，称为样本函数的功率谱密度函数。由于随机信号的随机性，各样本函数不同，故任一样本函数对应的功率谱密度函数都不能用来代表随机过程的功率谱密度函数。因此，只有将所有可能出现的每一个样本函数的功率谱密度函数的统计平均值作为随机过程的功率谱密度函数才是合理的。∴一个随机过程的功率谱密度函数为：称为随机过程的功率谱密度函数。由此可得随机过

3、程的平均功率：其中，为均方值的时间平均。当为平稳过程时，则常数，故有。当为各态历经过程时，则故有。两者依概率1相等。§2功率谱密度与自相关函数的关系由与可证：令：，，则令：可看成非平稳过程自相关函数的时间平均。若为平稳过程，则，故有由付氏变换条件可知，平稳随机过程必须满足：1.不含直流分量；2.不含周期成分。若含上述成分，则可引入函数加以解决。§3功率谱密度的性质因为各态历经平稳过程1.非负性，GX(ω)≥0；2.GX(ω)为实函数；为实函数3.GX(ω)为偶函数；为偶函数4.GX(ω)不含相位

4、信息；已不含相位信息5.GX(ω)为有理函数；6.GX′(ω)=ω2GX(ω)，其中§4互谱密度及其性质一、互谱密度设，则若，单独平稳且联合平稳，则必然平稳，故有：，和其中，，称为X(t)和Y(t)的互谱密度。注意：，单独平稳和联合平稳不能相互推论。二、互谱密度的性质1.。2.和是的偶函数；和是的奇函数。因为任一复函数满足：3.若平稳过程和相互正交，则有和。平稳过程和相互正交的条件为：4.若X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳过程，分别有均值mX和mY，则三、相干函数定义，。当时，。§5白噪声与

5、带限白噪声一、白噪声定义：一个均值为零，功率谱密度在整个频域轴上为非零常数，即的平稳过程，称为白噪声过程，简称白噪声。其中，为正实常数，单位：白噪声的功率谱函数和自相关函数为：白噪声的相关系数：结论：同一时刻的白噪声才相关，即，任意不同时刻的白噪声是不相关的。也就是说白噪声随时间变化极快，功率谱极宽。引入白噪声概念的重要意义：白噪声在现实世界中是不存在的，它是对现实世界中随机噪声的一种理想化的近似；白噪声平均功率b)理论意义重大；可求系统性能的下界，数学运算简便。若随机序列Z(n)满足：则称Z(

6、n)为白序列。其中为单位冲击序列。二、白序列定义*三、带限白噪声定义：一个均值为零，功率谱密度为的平稳过程，称为带限白噪声。其中ω0为有限值。对应于带限白噪声的自相关函数为：其中，。当时，。结论：带限白噪声过程间隔时间时的随机变量是不相关的。由结论可知：若按抽样频率对带限白噪声进行抽样，则各抽样值是互不相关的随机变量。带限白噪声可分为：1．低通（带限）白噪声；2．带通（带限）白噪声。习题：4.1；4.2；4.6；4.7；4.11；4.17