数字随机信号功率谱密度分析-基带1

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1、数字随机信号功率谱密度（PSD）分析－基带<版权所有，转载请注明来源:http://hi.baidu.com/ligang75/ligang75的文库>1、形如的基带数字信号的PSD设有随机数字信号(1-1)其中g(t)为基带成型脉冲，其持续时间为t∈(0,T0)。为取值离散的平稳随机随机序列，可以为复值。式可以表示一般的基带随机过程。至于（窄带）带通过程，则可用等效基带法表示为：(1-2)之后使用窄带随机过程理论来分析。容易知道，式所表示的随机过程是以T0为周期的周期平稳随机过程。要求其功率谱密度，一种方法是先求得其周期的自相关函数，然

2、后在一个码元周期内求其平均自相关函数，再对后者求傅里叶变换。我们这里不使用这种方法，而是直接由功率谱密度的定义来求。下面使用定义来分析式表示的随机信号的功率谱密度。理论上，随机过程都是功率信号，故其功率谱密度的一般定义为：(1-3)其中XT(f)是对过程截断之后取其傅里叶变换。E[·]表示取集平均。按照傅里叶变换的定义：(1-4)xT(t)是对应的截断时间信号。取T＝(2N+1)T0，则式变为(1-5)因为表示的极限存在，所以T无论怎么趋向+∞，得到的极限都应该相等。这里取特殊的按照T0的倍数增长的方式,即xT(t)的时间跨度限制为[-N

3、T0,(N+1)T0]，当N→∞时，xT(t)就是x(t)。于是式可以进一步写成(1-6)而(1-7)把求和跟积分分离开，得(1-8)在上式后项的积分中令变量替换t2=t1+τ，得(1-9)正是g(t)的自相关函数的傅里叶变换。由能量信号的分析的结论，能量谱密度是能量信号的自相关函数的傅里叶变换。把g(t)的能量谱密度记作。式第一项中，因为序列是平稳序列，作变量代换，令m-n=k，则m=n+k。而m,n都是从-N,-N+1,…,N，则k的范围为-2N到2N。故式右边第一项为(1-10)其中，由平稳性，定义为序列的自相关函数。上式当N→+∞

4、时，第2个求和符号对于给定的n，都是从-∞到+∞（整数）求和，和值是相同的。故当N→+∞时，上式等于（N→∞）(1-11)把-代入功率谱密度的定义式，得(1-12)其中是序列的自相关的离散时间傅里叶变换(DTFT)。由此看出，基带随机过程的功率谱密度由其成型脉冲的频谱、以及序列的PSD共同决定。对于具有不同相关特性的序列，可以求出其特定的自相关序列，然后求其DTFT，令角频率为，便是要求的序列的功率谱密度。2、形如的基带数字信号的PSD令基带随机信号为(2-1)其中其他符号含义都跟一样，除了多出来的α。设α为均匀分布在[0,T0]的随机变

5、量，代表传输中的同步误差，且和序列符号独立。易证，式表示的随机过程是广义平稳随机过程。这是因为：其均值(2-2)其中令变量代换u=t-nT0-α，得(2-3)该均值与时间无关。而自相关函数(2-4)对于式右边第1个期望，由序列的平稳性可以记为(2-5)第2个期望(2-6)将、式代入，得令变量代换：k=m-n,消去m，得(2-7)上式只与时间差τ有关。故由、式知，虽然只在式基础上引入一个随机的均匀分布的时延α，却使得随机过程由周期平稳变成了广义平稳。且仔细观察，式可以进一步写成卷积的形式：(2-8)再利用维纳－辛钦定理，对上述自相关函数求傅

6、里叶变换，得到如式所表示的随机过程x(t)的功率谱密度。利用傅里叶变换的卷积性质，以及狄拉克δ函数的性质，可得这个功率谱密度跟上一节中得到的PSD结果是一样的，也是(2-9)