多题一法专项训练(二)　换元法

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1、多题一法专项训练(二)　换元法一、选择题1．已知f(x3)＝lgx(x>0)，则f(4)的值为(　　)A．2lg2　　　　　　　　B.lg2C.lg2D.lg42．已知函数f(x)＝＋2x(x>1)，则f(x)的最小值为(　　)A．2B．2＋2C．2－2D．23．已知sinx＋siny＝，则＋siny－cos2x的取值范围是(　　)A.B．C.D.4．函数y＝sinx·cosx＋sinx＋cosx的最大值为(　　)A.＋B.－C．2D.5．已知函数f(x)＝4x－2xt＋t＋1在区间(0，＋∞)上的图像恒在x轴上方，则实数t的取值范围是

2、(　　)A．(2＋2，＋∞)B．(－∞，2＋2)C．(0,2＋2)D．(2＋2，8)二、填空题6．已知f(x)＝，则f(x)的最大值为________．7．设f(x2＋1)＝loga(4－x4)(a>1)，则f(x)的值域是________．8．已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列的通项公式an＝________.9．已知不等式>ax＋的解集是(4，b)，则a＝________，b＝________.三、解答题10．求函数y＝3－4的值域．11．已知函数y＝－sin2x＋asinx－＋的最大值为2，求a

3、的值．12．已知△ABC的三个内角A，B，C满足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值．答案1．选C　令t＝x3，(t>0)，则x＝.∴f(t)＝lg＝lgt.∴f(4)＝lg4＝lg2.2．选B　f(x)＝＋2(x－1)＋2，令x－1＝t，则f(t)＝＋2t＋2，(t>0)，∴f(t)≥2＋2＝2＋2.当且仅当＝2t时等号成立，故f(x)的最小值为2＋2，当且仅当＝2(x－1)，即x＝＋1时等号成立．3．选D　＋siny－cos2x＝－sinx－cos2x＝(sinx－)2＋.又siny＝－sinx，∴－1≤－sinx≤1，解得－≤si

4、nx≤1，∴≤(sinx－)2＋≤.即所求取值范围为[，]．4．选A　令t＝sinx＋cosx，t∈[－，]，则y＝t2＋t－＝(t＋1)2－1，t＝时，ymax＝＋.5．选B　令m＝2x(m>1)，则问题转化为函数f(m)＝m2－mt＋t＋1在区间(1，＋∞)上的图象恒在x轴的上方，即Δ＝t2－4(t＋1)<0或解得t<2＋2.即实数t的取值范围是(－∞，2＋2)．6．解析：f(x)＝＝＝2sinx(1－sinx)＝－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－)2＋.因为sinx∈[－1,1]，所以当sinx＝时，f(x)取得最大值是

5、.答案：7．解析：设x2＋1＝t(t≥1)，∴f(t)＝loga[－(t－1)2＋4]．∴值域为(－∞，loga4]．答案：(－∞，loga4]8．解析：由已知变形为－＝－1，令bn＝.∴{bn}是以－1为首项，－1为公差的等差数列．则b1＝－1，bn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n.∴an＝－.答案：－9．解析：令＝t，则t>at2＋，即at2－t＋<0.其解集为(2，)，故解得a＝，b＝36.答案：　3610．解：由解得－2≤x≤2，所以函数的定义域为[－2,2]．因为()2＋()2＝4，故可设(θ∈[0，])则y＝3×2sinθ

6、－4×2cosθ＝6sinθ－8cosθ＝10sin(θ－φ)．因为θ∈，所以θ－φ∈.所以当θ＝0时，函数取得最小值10sin(－φ)＝10×＝－8；当θ＝时，函数取得最大值10sin(－φ)＝10cosφ＝10×＝6.综上，函数的值域为[－8,6]．11．解：令t＝sinx，问题就转化为二次函数在区间上的最值问题．令t＝sinx，t∈[－1,1]，所以y＝－2＋(a2－a＋2)，对称轴为t＝.(1)当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，ymax＝(a2－a＋2)＝2，得a＝－2或a＝3(舍去)．(2)当>1，即a>2时，函数y＝－2＋(a

7、2－a＋2)在[－1,1]上单调递增，所以由ymax＝－1＋a－a＋＝2，得a＝.(3)当<－1，即a<－2时，函数y＝－2＋(a2－a＋2)在[－1,1]上单调递减，所以由ymax＝－1－a－a＋＝2，得a＝－2(舍去)．综上，可得a＝－2或a＝.12．解：由已知A＋C＝2B，可得由A＋C＝120°，设代入已知等式得：＋＝＋＝＋＝＝＝－2，解得：cosα＝，即：cos＝.