多题一法专项训练(四)　构造法

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1、多题一法专项训练(四)　构造法一、选择题1．已知三个互不重合的平面α，β，γ，α∩β＝m，n⊂γ，且直线m，n不重合，由下列三个条件：①m∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③m⊂γ，n∥β.能推得m∥n的条件是(　　)A．①或②　　　　　　　　B．①或③C．只有②D．②或③2．方程

2、x

3、＝cosx在(－∞，＋∞)内(　　)A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的通项公式为(　　)A.B.C.D.4．如图所示，已知三棱锥PABC，PA＝BC＝

4、2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，则三棱锥PABC的体积为(　　)A．40B．80C．160D．2405．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是(　　)A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3二、填空题6．若a>3，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰有________个实根．7．已知实数x，y满足

5、x

6、＋

7、y

8、≤4，则x2＋(y－6)2的最小值是________．8．若不等式4x2＋9y2≥2kxy对一切正数x，y恒成立，则整数k的最大值为________．三、解答题9．

9、求数列{an}的通项公式：(1)已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an－2(n∈N*)；(2)已知数列{an}满足：a1＝3，且an＋1＝(n∈N*)．10．设函数f(x)＝x－(x＋1)ln(x＋1)(x>－1)．(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当n>m>0时，(1＋n)m<(1＋m)n.11．设f(x)＝ex－1.(1)当x>－1时，证明：f(x)>；(2)当a>ln2－1且x>0时，证明：f(x)>x2－2ax.12．设数列{an}的前n项和Sn＝an－×2n＋1＋，n∈N*.(1)求首项a1与通

10、项an；(2)设Tn＝，n∈N*，证明：i<.答案1．选B　构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②：取平面α为平面ADD′A′，平面β为平面ABCD，则直线m为直线AD.因m∥γ，故可取平面γ为平面A′B′C′D′，因为n⊂γ且n∥β，故可取直线n为直线A′B′.则直线AD与直线A′B′为异面直线，故m与n不平行．因此，可排除A、C、D，选B.2．选C　求解方程

11、x

12、＝cosx在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)＝

13、x

14、和g(x)＝cosx在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．由f(x)＝

15、

16、x

17、和g(x)＝cosx的图象易知有两交点，即原方程有且仅有两个根．3．选C　∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0，∴＝＋，即－＝，又a1＝1，则＝1，∴{}是以1为首项，为公差的等差数列．∴＝＋(n－1)×＝＋，∴an＝(n∈N*)．4．选C　因为三棱锥PABC的三组对边两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥PABC补成一个长方体AEBGFPDC，易知三棱锥PABC的各边分别是此长方体的面对角线．不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，则由已知，可得⇒从而知VPABC＝VAEBGFPDC－VPA

18、EB－VCABG－VBPDC－VAFPC＝VAEBGFPDC－4VPAEB＝6×8×10－4××6×8×10＝160.5．选D　f′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即：a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，而(3x2)min＝3×12＝3.∴a≤3，故amax＝3.6．解析：设f(x)＝x3－ax2＋1，则f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a)，由于a>3，则在(0,2)上f′(x)<0，f(x)为减函数，而f(0)＝1>0，f(2)＝9－4a<0，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰有1个实根．答

19、案：17．解析：由

20、x

21、＋

22、y

23、≤4可得到不等式组其对应的区域为边长为4的正方形，即图中阴影部分(包括边界)，x2＋(y－6)2表示定点M(0,6)与区域上的点(x，y)的距离的平方，易得x2＋(y－6)2的最小值是4.答案：48．解析：由4x2＋9y2≥2kxy，且x>0，y>0得2k≤，又≥＝12，当且仅当4x2＝9y2“＝”成立，∴2k≤12.则kmax＝3.答案：39．解：(1)由已知，可得an＋1＝3an－2，所以an＋1－1＝3(an－1)．故{an－1}是一个首项为a1－1＝1，公比为3的等比数列．所以an

24、－1＝1×3n－1，故an＝3n－1＋1.(2)由已知，可得当n∈N*时，an＋1＝，两边取倒数，得＝＝＋2，即－＝2，所以{}是一个首项为＝，公差为2的等差数列，其通项公式为＝＋(n－1)×2＝2n－.所以数列{an}的通项公式为an＝＝.10．解：(1)f′(x)＝1－ln(x＋1)－＝－ln(x＋1)，当f′(