...用珠算教学论证增乘法开高次方解高次方程

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1、在中小学数学教学中弘扬中国数学优秀算法——用珠算教学论证增乘法开高次方解高次方程河南少年先锋学校赵绘敏摘要：贾宪创立的系数“三角形”及增乘开方算法不仅有着历史的辉煌，将其用于构建中西融合的“优因数学”内容更是现代数学教育的亮点。特别是运用珠算，不仅可以使开高次方（解高次方程）的数值计算至简，而且运用珠算程序可以一般地论证增乘开方算法的原理，还可以直接搬上计算机。我们在小学四年级的优因数学实验班教学用珠算程序论证和计算开高次方（解高次方程），不仅小学生能够理解和熟练地操作算盘解题，而且特有兴趣，有力地培养了民族自豪感和孩子自身的成就感和喜悦

2、。事实证明融合中西数学优秀基因、范式构建优因数学可使现代数学教育简易、高效、现代化，既减轻负担，又提高质量。中国数学史研究应当和数学教育工作者合作，不仅是澄清数学历史，更需要把中国古代数学优秀思想方法开发出来用于现代数学教育，切实弘扬中国传统数学优秀文化，为人类子孙后代造福。关键词：贾宪三角形增乘开方算法珠算程序优因数学小学生解高次方程数学史研究与数学教育结合。正文：宋代是中国古代数学的最繁盛时期，是中国古代数学的颠峰。在这个数学创新的黄金时期中，涌现出了许多杰出的数学家，各种数学成果层出不穷，令人目不暇接。其中一些成就也是当时世界数学的

3、高峰。从开平方、开立方到四次以上的开方，在数学上是一个飞跃，实现这个飞跃的就是贾宪。杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平方法”、“增乘开立方法”；在《详解九章算法》中载有贾宪的“开方作法本源”图、“增乘方法求廉草”和用“增乘开方法”开四次方的例子。但杨辉在引用了“开方作法本源图”这幅图后特意说明：“贾宪用此术”。根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表，创造了增乘开方法（12世纪），这时欧洲还正在使用“罗马数码”，表数都十分困难，更不用说作这么复杂的开方运算了。这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响。而把增乘开方法推广到数字高次方程

4、（包括系数为负的情形）解法的是刘益。315《杨辉算法》中“田亩比类乘除捷法”卷，介绍了原书中22个二次方程和1个四次方程，后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程（最高次数为10）的问题。为了适应增乘开方法的计算程序，秦九韶把常数项规定为负数，把高次方程解法分成各种类型。在求根的第二位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第二位数的试除法，这比西方最早的霍纳方法早500多年。而从贾宪到秦九韶逐步发展完备起来的高次方程数值解法——增乘开方法（

5、从现在找到的文献看，当时用的是筹算），也成了中国数学在宋元时期的一项杰出的创造。贾宪把二项式的幂展开式的系数,排成三角形的表(称为开方作法本源图)就是对简化开方积极追求而获得的世界遥遥领先的伟大创造。此前开平方要用正方形面积说明：开方过程就是从正方形中连续割去若干个正方形（黄）以及其相应的两矩形（朱、青）连同对顶小正方形（黄）；这些次小正方形的边长就是根的各位数值（如图---1）整个大正方形面积相当被开方数（实），减去按图示的各正方形，矩形的面积（按图示计算）。开立方，要用正方体模型，其道理与此相仿（把正方形换成正方体，矩形换成长方体即可

6、）。这样，最多只能开三次方，高于三次方将无法解释、进行。甲幂200幂乙90幂丙幂8图---1图---2开方作法本源图贾宪则相当是凭借代数式，将根归结为两项和（如368=300+68=360+8）。n开n次方，就是从和式（a+b）的n次幂式（a+b）的展开式中确定减去的数值。展开式各项中a、b的幂次易知，但系数不易确定。贾宪就列出一个三角形316的表，很简易的给出了系数求法：相邻两数相加。就得高一幂次对应的系数。（如图---2开方作法本源图）用现代的数学术语来说，这幅“开方作法本源图”实际上是一个指数为正整数的二项式幂的系数表。认真思考就会

7、很容易看到：如果把以上式子中等号右边的各个系数排列起来，则可得：11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691这正好与“开方作法本源图”上的数字完全相符。这样一种二项式幂展开式系数的规律，在西方数学史上被称为“帕斯卡三角形”（如图3）。帕斯卡是法国数学家，他是在１６５图3帕斯卡三角４年所著的书中给出类似于贾宪“开方作法本源图”的数字三角形表。其实，西方最古的此类数字三角形，可以上溯到1527年；但与贾宪的这个图相比，已经晚了六百多年

8、。因此我们完全有理由把这项中国人最先发明的数学成果称为“贾宪三角”而载人史册。不仅如此，贾宪的这个图还蕴含了图中数字的产生规律。细心的读者也许已经发现，这个三角形的两条斜317边都是由数字１所