是定义在上的正值函数

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1、是定义在上的正值函数，且．对于定义域中任意两个实数，，当时，恒有，求证：（Ⅰ）的上增函数；（Ⅱ）对于任意，恒有成立．证明：（Ⅰ）设任意，，且设时，令，．则．∴，则在上增函数．（Ⅱ）假设存在，使得不成立，则成立．（i）若时，，则，即与的上增函数矛盾．（ii）若时，，则，，∴　则与矛盾．（iii）若（，），．∴，则．∴．∴与约定条件矛盾．，因为时，总存在一个区间，使，．∴由（i）（ii）（iii）知不存在，使．从而证明了对任意，恒有成立．评注：证明抽象的函数问题时，应用反证法效果阿注意用词，恰当使用全称量词“任意”和特称量词“存在

2、”．设是区间上的实函数，如果满足（1）对于任意，；第14页共14页（1）对于任意，，有．试证：对于任意，都有成立．证明：设任意，．对于任意，，由（2）有：．令，则．∴由上式得：，即，从而得，．于是，当时，恒有，即条件（2）对任意，恒有成立．现证：对于任意，都有成立．利用反证法，假设存在，，使得成立，不妨设，则，即．故有．这与条件（2）矛盾．所以，对于任意，都有成立．设，其中是实数，是任给的正整数，且．（1）如果当时有意义，求的取值范围；（2）如果，证明：当时，．解：（1）设…，则．∵（，，…，）在上是减函数．则…第14页共14

3、页使得在上有意义的条件是．即的取值范围是．（2）要证明，，成立，只需要证明当时，……，其中，．首先证明一个柯西不等式：∵，恒有，（，，…，），即．因此，．由于对都成立，则判别式△．即，取等号的条件是每个方程有唯一解：（，，…，），即…时取等号．应用上面结论，当时，而，所以有：………（因为），即有，，成立．已知函数的定义域为，对于任意实数，都有，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求和…（）；（Ⅲ）若（为有理数集），试求函数的表达式（新作题）．解：（Ⅰ）令得，；（Ⅱ）令（），，由条件和（Ⅰ）的结论，得，即，由等差数列定义知，数列构成等差数列，则

4、…；第14页共14页（Ⅲ）（i）若，由（Ⅱ）知，，（ii）若时，由得，，（iii）若时，令（），则，得，即，所以当时，得；若，令，且，，则，而，，…，所以，，因此，得，故当时，函数的表达式为．【解析】本题是依赖数集的发展脉络，先求出了为正整数的表达式，又求出了的表达式，最后由有理数的定义，求出了为有理数的函数表达式．已知函数，其中，，均为实数，集合，．若，则求集合．由集合及，得．比较同次幂的系数，得，．∴．由此可知集合的元素是方程即的根．所以，．事实上，对于，则．已知集合（）至多只有一个真子集，求的取值范围．第14页共14页解

5、题分析：至多只有一个真子集的集合有两种情况，其一是没有真子集；其二只有一个真子集，必须按分类讨论进行．解析：因为集合A至多只有一个真子集，则集合A可能没有真子集，可能只有一个真子集，故必须分两种情形进行讨论．（i）当A没有真子集时，即，因此，关于的方程没有实数解，∴，且△，所以；（ii）当只有一个真子集时，即A为单元集，这时也有两种情形：①时，△，所以，②时，原方程化为一次方程，∴．所以当或时，A为单元集．综合（i）（ii）可得，实数的取值范围是或．点津：正确理解真子集的概念，考虑二次方程的判别式△后，还必须考虑含参数的二次项

6、系数为零的情形．参数的求值问题要根据不同的题目要求，对可能出现的情形进行分类讨论．分类讨论时需特别考虑问题全面、有序、尽量避免疏漏．对于函数，若，使成立，则称为函数的不动点．已知函数（）．（1）当，时，求函数的不动点；（2）若对，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，若图像上A，B两点的横坐标是函数的不动点，且A，B两点关于直线对称，求的最小值．解析：（1）当，时，．依不动点定义，得，解之，．故当，时，函数的不动点是或；（2）因为恒有两个不动点，依不动点定义，得，即恒有两个不同的实数解，则有对于均

7、成立，于是，得，故对，恒有两个相异的不动点，实数的取值范围为；（3）依不动点的定义，A，B两点应在直线上，设，．∵点A，B关于直线对称，∴，第14页共14页设AB的中点为，又因为，是方程的根，∴．由于点M在直线上，得，解之：，由于，所以，取等号条件为．故当时，的最小值为．已知，函数．（1）当时，若对任意都有，证明：；（2）当时，证明：对任意，的充要条件是；（3）当时，讨论：对任意，的充要条件．（1）证明：已知对任意都有，∵，∴．∵，，∴；（2）证明：（i）必要性：对任意，可得，由此可推导出，即，从而得．另一方面，对任意，也可得

8、，因为，可推出，即得，从而得，∴；（ii）充分性：因为，，对任意，可以得，即；另一方面，因为，，对任意，也可以得，即，∴．综合（i）（ii）知，当时，对任意，的充要条件是；第14页共14页（3）因为，时，对任意，有，即；由得，推出，另一方面，由得，由于，则，所以．所以，，时，