.若对在上（常义）可积,则其积分定义上的一个函数,记作

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1、第十四章含参变量积分第一节含参变量的常义积分定义14.1（含参变量常义积分）对/（兀，刃，（兀，刃eD=[a9b]x[c9d].若Vxe[a9b],f（x,y）对y在[c,d]_h（常义）可积，则其积分定义S,列上的一个函数,记作1M=f（x,y）dy,xe[a,b]把它称为含参变量（常义）积分或简称含参积分，其中兀称Z为参变量.在不至于引起歧义的情况卜，常将含参变量的积分中被积畅数的自变量省略不写，如可以将上式记成/(兀)=fdy,xea,b]参数的定义区间除上述的[a,6外，常用的还有[a"）,（a,b）,（d,+oo

2、）,（-8,+oo）等等./（力是一个由含参变量的积分所确定的函数，这种形式的函数在理论和应川上都有重要作川，冇许多很冇川的特殊函数就是这种形式的函数.若f（x,y）仅有对y的可积性（对任意兀），则/（兀）不一定具有良好的分析性质.但是当f（x9y）满足适当的条件时，可以得到/（切的一些较好的性质.下面我们讨论这种由积分所确定的函数的连续性、可微性与可积性.定理14.1(连续性)对f(x,y),(x,y)eD,D=[a,h]x[c,d].如果/在D上连续，记fgC(D),又记/(%)=fdy.x^a,b.那么/（兀）在[

3、a,b]h连续,可记I(x)eC[a,b],证明0兀（）w[a,b],当IAxI充分小时,x04-Axe[a,b](对x0=a.b仅考虑/(x)的单侧连续性），于是/(x0+Ax)-/(x0)=£(/(x0+Ax,y)-/(x0,y))d:(14.1)因为f（x,y）在[a,b;c,d]上连续,从而就一致连续，因此对任意£>0,存在5〉0,使得对于这个矩形内任何两点（X,,X）及（兀2,儿），只要M-X2I<5,1）1-y21<6就有f(xl9y)-f(x2,y2)<£而在这个定理中，只要丨心1<》，那么，对一切y恒成

4、立于是f(xQ+Ax,y)-f(xQ9y)<8l/(x0+Ar)-/(^0)l<「/(兀()+Ar,y)-/(x(),y)〃.K£(d—c)山兀o的任意性，IMeC［a.b］得证.即/(x)在［a,创上连续.由这个定理得结论也就有=flimf(x,y)dy=f/(x0,y)^)Vx0e[a,h]J('.V->.VnJ('lim(f(x,y)dyx->xQJc即在定理得条件下极限运算与积分运算可交换.也即在该定理的条件下极限运算可以通过积分号.上面定理说明被积函数的一致收敛性是积分运算与极限运算可交换的充分条件.类似地，

5、如果feC(D),记丿0)=(fdx,ye[c.d]则JgC［c,J］,证明类似于定理14.1.1定理14.2(可导性与求导求积的可换序性)设/(兀,刃及.fv(x,y)都在矩形［o,b,c,d］上连续，则证明对于［c,d］上任何一点y,设$+△)，也属于［c,d］,那么丿(y+Ay)-丿(y)=『/(兀，丁+人)，)一/(兀，丁)必△y山Ay利用拉格朗日定理=fAs，y+知皿(0<0<1)令△『一>(),再利用定理14.1的结果，得定理得证.当/(x,y)是£>=［。如［诃上的连续函数时，由定理14.1可得/⑴=f/(x,

6、y)dy,/(V)=^f(x,y)dx分别在［c,d］及［a,b］上连续，因此/(x)在［a,b］上可积,丿(刃在［c,d］上可积,记为:f^y^dy『丿(y)dy=£dy£/(兀,y)d兀它们相等吗？换言之，两个枳分运算在什么条件下可交换?分析：若两个积分运算可交换，则V虫山,创，.fwC(［aJx［c,dD，也应有［dxffdy=£dy£fdx从ifti它们对t的导数应相等.而上式左端的导数是右端的导数是jdy鲁］fdx=ff(t,y)dy它们的确相等.于是我们可以证明下面定理：定理14.3(可积性与求积的可换序性)若

7、f(x,y)在矩形［a,b;c,d］上连续，那么例14・1求心广_%A)Inx(a>0,b>0).解我们知道所以交换积分顺序得订d)』5订古gin为了更严格地给出定理的论证，我们考虑积分限中含有参变量的积分.如F(沪皿定理14.4(积分上下限函数的连续性)若f(x,y)在矩形S";c,d］上连续，藏a(y)及级刃都在［c,d］上连续,并且a

8、(v)=「、/(x，y+3)dxJa(y+Ay)+f[f(x,y+Ay)-f(x.y)]cl;儿(y)申v+Ay)+L/(x,y+AyXx当AyTO时右端第一个和第三个积分趋于零，而第二个积分正象定理14.1的证明中那样,也趋于零，于是定理得证.定理14.5若函数/（兀,刃及人（兀刃都在［