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《江苏2020版高考数学第二章函数的概念与基本初等函数ⅰ第二节函数的单调性与最值学案（理）（含解析）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二节函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(
2、x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x∈I，使得f(x)＝M①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x∈I，使得f(x)＝M结论M为函数y＝f(x)的最大值M为函数y＝f(x)的最小值[小题体验]1．(2019·常州一中月考)f(x)＝
3、x＋2
4、的单调递增区间为________．答案：[－2，＋∞)2．若函数f(x)＝在区间[2，a]上的最大值与最小值的和为，则a＝________.解析：由f(x)＝的图象知，f(x)＝在(0，＋∞)上是减
5、函数，因为[2，a]⊆(0，＋∞)，所以f(x)＝在[2，a]上也是减函数，所以f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(a)＝，所以＋＝，所以a＝4.答案：43．函数f(x)是在区间(－2,3)上的增函数，则y＝f(x＋5)的一个递增区间是________．解析：由－2＜x＋5＜3，得－7＜x＜－2，故y＝f(x＋5)的递增区间为(－7，－2)．答案：(－7，－2)1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性
6、相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝.3．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．[小题纠偏]1．(2019·海安期中)函数f(x)＝的单调递减区间为________．答案：和2．已知函数f(x)＝log5(x2－3x－4)，则该函数的单调递增区间为________．解析：由题意
7、知x2－3x－4＞0，则x＞4或x＜－1，令y＝x2－3x－4，则其图象的对称轴为x＝，所以y＝x2－3x－4的单调递增区间为(4，＋∞)．单调递减区间为(－∞，－1)，由复合函数的单调性知f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．答案：(4，＋∞) [题组练透]1．讨论函数f(x)＝在x∈(－1,1)上的单调性．解：设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝－＝.因为－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1x2＋1＞0，(x－1)(x－1)＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，故函数f(x)在(－1
8、,1)上为减函数．2．已知函数f(x)＝a＋(a∈R)，判断函数f(x)的单调性，并用单调性的定义证明．解：f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，证明如下：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域内任取x1，x2，使0＜x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝－＝.因为0＜x1＜x2，所以2x1＜2x2，2x2＞1,2x1＞1，所以2x1－2x2＜0,2x1－1＞0,2x2－1＞0，从而f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数，同理可证f(x)在(－∞，0)上
9、为减函数．[谨记通法]1．定义法判断函数单调性的步骤取值2．导数法判断函数单调性的步骤 [典例引领]求下列函数的单调区间：(1)y＝－x2＋2
10、x
11、＋1；(2)y＝log(x2－3x＋2)．解：(1)由于y＝即y＝画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝logu与u＝x2－3x＋2的复合函数．令u＝x2－3x＋2＞0，则x＜1或x＞2.所以函数y＝log(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u＝x2－3x
12、＋2的对称轴x＝，且开口向上．所以u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y＝logu在(0，＋∞)上是单调减函数，所以y＝log(x2－3x＋2)的单调递减区间为(
