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1、第九章定积分§1定积分概念与牛顿-布莱尼茨公式例1证明：若，且，则存在，使证采用反证法，倘若在任何上都使，则导致任一积分和，于是当时极限亦为非正，即，这与已知条件相矛盾。□例2通过对积分和求极限来验证：，（1.6）解首先,本题的解法与牛顿-莱布尼茨公式无关,按题意,需假设(1.6)式左边的定积分存在，然后根据前面问题2的（5），可以通过对联某一特殊积分和求极限而得到该定积分的值。为简单起见，取T为等分分割：，并取，，则有例3设，与仅在有限个点处取值不同，试由可积定义证明，且有证不失一般性，设g与f只在一点处取值不同，而且为记，因，故，，当时，对一
2、切有；于是又有由于当时，，而当时无论或，都有，因此只要，就能保证这即为，且□本例说明：一个可积函数，当它的有限个函数值发生改变时，既不会影响它的可积性，也不会影响它的定积分之值，这个重要性性质在以后常会用到例4通过化为定积分后求极限：（1.7）解这类问题的解题思想，是要把所求极限化为某个函数在某一区间上的积分和的极限，然后利用牛顿-莱布尼茨公式计算的值。由于（1.7）式中的根式不是一个和式，而是一个连乘积，因此可望通过求对数后化为累加形式，为此记,不难看出，In是函数在区间[0，1]上对应于n等分分割，并取，的一个积分和同于在[0，1]上连续，且
3、存在原函数，故由定理9.1知道，且有于是就可求得注上面In也可看作在[1，2]上的一个积分和，或者是在[2，3]上的一个积分和，……亦即例5试求由曲线以及直线x=2和x轴所围曲边梯形（图9-1）的面积S。解由于因此依据定积分的几何意义，可求得□例6设在[0，1]上可积，且为凸函数，试证：（1.8）证凸函数的特征是：，恒有；特别当时，满足（1.9）要想证明不等式(1.8)，可以先把左边的定积分表示成某一积分和的极限，以便能用（1.9）把积分和中各项与相联系，为方便起见，我们将[0，1]等分为2n个小区间，并取为第I个小区间的中点（i=1,2,…,2
4、n）,则有由于，因此由（1.9）得到于是就证得即不等式（1.8）成立。□注把本例中的区间[0，1]改为一般的[a,b]时，在同样的条件下，类似地可证得请读者自行写出推导过程。§2可积条件例1设，，试用两种方法证明证[证法一]因，故，使，；于是有，因此由微分值定理推知（其中）（2.2）根据可积第二充要条件（必要性），，某分割T，可使；对于同一分割T，据（2.2）式便有再由可积第二充要条件(充分性),证得□[证法二]利用复合函数可积性质(教材第235页例2),已知为连续函数，在[a,b]上为可积函数，则□例2证明：若，，则证，因，故分割T，使把两点加
5、入T而成，则由是T的加密，知道与此同时，在[]上的那部分分点构成对[]的一个分割，并有这就证得□例3设是定义在[a,b]上的一个阶梯函数，意即有一[a,b]的分割T，使在T所属的每个小区间上都是常的值可以是任意的，它对的积分无影响），，证明：（1）若，则任给，存在阶梯函数,使得（2.3）(2)若对任给的,存在阶梯函数,,,使得,则证(1)由,,使得由于,因此,(2.4)所以只要取阶梯函数和为,,就有,把它代入(2.4)式，就证得（2.3）式成立。（2）满足题设条件的阶梯函数和存在，根据阶梯函数的定义，分别存在分割和，使令T=T1+T2，把T看作既
6、是T1的加密，又是T2的加密，于是有，这就证得说明由以上（1）的结论，立即得到，再与（2）相联系，便有如下命题——的充要条件是：存在两个阶梯函数和，满足，，由以上（1）与（2）的证明看到，这个命题其实就是可积第二充要条件的另外一种表达方式。例4证明：若，则对任给的，存在一个连续函数，，使得证根据例3（1），取一阶梯函数h,满足，由f在[a,b]上可积，从而有界，设，若在上为常数，取,则可构造一个连续函数（如图9-4所示）：在上；在和上，满足的线性函数，于是有；□请读者自行证明：当时，存在连续函数，满足例5本题的最终目的是要证明：若f在[a,b]上
7、可积，则f在[a,b]上必定存在无限多个连续点，而且它们在[a,b]上处处稠密，这可以用区间套方法按以下顺序逐一证明：（1）若分割T能使，则在T中存在某个小区间，使在其上有；（2）存在区间，使得；（3）存在区间，使得；（4）继续以上方法，求出一区间序列，使得，；可证是一个区间套，其公共点是f的一个连续点；（5）按上面方法求得的f的连续点在[a,b]上处处稠密。*证（1）倘若在小区间上都有,则将出现矛盾：（2）由（1），，在其上有，现按如下规定来得到：若，则取；若，则取，其中为满足的任意数，则有若，则取，其中为满足的任意数，同样有由此得到的，必定有
8、（3）用代替（1）中的[a,b]，根据例2，知道，同理可证：上的分割T使得；且有中的某个小区间，使类似于（2），，满足（4）因以上分割可
