定积分概念与牛顿-布莱尼茨公式.docx

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1、第九章定积分§1定积分概念与牛顿-布莱尼茨公式例1证明：若fa,b，且abfxdx0，则存在,a,b，使fx0,x,证采用反证法，倘若在任何,a,b上都使fx0，则导致任一积分和nfixi0，于是当T0时极限亦为非正，即i1nablimfixifxdx0，T0i1这与已知条件相矛盾。□例2通过对积分和求极限来验证：axdxaa，0a1（1.6）lna解首先,本题的解法与牛顿-莱布尼茨公式无关,按题意,需假设(1.6)式左边的定积分存在，然后根据前面问题2的（5），可以通过对联某一特殊积分和求极限而得到该定积分的值。为简单起见，取T

2、为等分分割：T,,,n1，n,nxiTn,i1,2,,n;并取i，i1,2,,n，则有inxniadxlimannni1nianalimnni1aliman1ann1ana1alimannn1anaa1limtt1ataalim1ttalnaaalna例3设fa,b，g与f仅在有限个点处取值不同，试由可积定义证明g且有bagxdxabfxdx证不失一般性，设g与f只在一点处取值不同，而且为gbfb记abfxdxJ，因fa,b，故0，10，当T1时，对一切ngixiJ；i12于是又有nnngixiJgixifixii1i1i1nfi

3、xiJi1NgifiTI12由于当1in1时，gifi0，而当in时无论nb或nb，都有gnfngbfb，因此只要Tmin1,fb，2gb就能保证ngixiJ22i1a,b，ni1有这即为ga,b，且bagxdxJbafxdx□本例说明：一个可积函数，当它的有限个函数值发生改变时，既不会影响它的可积性，也不会影响它的定积分之值，这个重要性性质在以后常会用到例4通过化为定积分后求极限：lim1nnn12n1J（1.7）nn解这类问题的解题思想，是要把所求极限化为某个函数fx在某一区间a,b上的积分和的极限，然后利用牛顿-莱布尼茨公

4、式计算Jabfxdx的值。由于（1.7）式中的根式不是一个和式，而是一个连乘积，因此可望通过求对数后化为累加形式，为此记Jn1nnn12n1nn11n111,nnIn1n1ilnJnln1nni0不难看出，In是函数fxln1x在区间[0，1]上对应于n等分分割，并取iii1,i，i1,2,,nnnn的一个积分和同于fxln1x在[0，1]上连续，且存在原函数Fx1xln1x1，故由定理9.1知道fx0,1，且有IlimIn10ln1xdxn1xln1x1012ln21于是就可求得limInJlimJnenneIl

5、n44eee注上面In也可看作lnx在[1，2]上的一个分和，或者是lnx1在[2，3]上的一个分和，⋯⋯亦即I10ln1xdx12lnxdx例5求由曲yx1x以及直x=2和x所曲梯形（9-1）的面S。解由于x1xx1x,x0,1,xx1,x(1,2],因此依据定分的几何意，可求得S10x1xdx12xx1dxx2x31x3x2223032115□616例6设fx在[0，1]上可，且凸函数，：10fxdxf1（1.8）2凸函数的特征是：01，恒有fx'1fx''fx'1x''；1特当，足21fx'fx''fx'x''（1.9）22

6、要想明不等式(1.8)，可以先把左的定分表示成某一分和的极限，以便能用（1.9）把分和中各与f1相系，方便起，我将[0，1]等分2n个小区，2并取i第I个小区的中点（i=1,2,⋯,2n）,有10f2n1xdxlimfini12n由于11i1,2,,n,i2ni1，22因此由（1.9）得到2nfii1f1f2nfnf2f12nfn2212nf2n1n1于是就得2n11limfifn12n2i即不等式（1.8）成立。□注把本例中的区[0，1]改一般的[a,b]，在同的条件下，似地可得abfxdxfabba2请读者自行写出推导过程

7、。§2可积条件例1设fa,b，gxefx，试用两种方法证明ga,b证[证法一]因fa,b，故M10，使fxM1，xa,b；于是有gxeM1M，xa,b因此由微分值定理推知igsupefx'efx'''''xixxsupfx'fx''x'x''iMsupfx'fx''x'x''iMif（其中在fx'与fx''之间）（2.2）根据可积第二充要条件（必要性），0，某分割T，可使ifxiM；T对于同一分割T，据（2.2）式便有igxiMifxiTMM再由可积第二充要条件(充分性),证得gxefxa,b□[证法二]利用复合函数可积性质(教材

8、第235页例2),已知hueu为连续函数，ufx在[a,b]上为可积函数，则gxhfxefxa,b□例2证明：若fa,b，,a,b，则f,证0，因fa,b，故分割T，使ixiT把,两点加入T而成T'，则由T'是T的加密，知道I'X'ixiTT与此同