4导数研究三次函数的性质

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1、让结局不留遗憾，让过程更加完美镇江市实验高中2015届数学文科一轮复习学案4导数研究三次函数的性质复习目标：掌握三次函数的图象和性质，尤其是利用导数研究单调性、极值情况，以及三次函数的零点。复习重点难点：（1）三次函数的图象的四种情况；（2）三次函数的极值情况；【典型例题】题型一：三次函数单调性的讨论例1．已知函数在上恒为增函数，求实数的取值范围.例2．已知函数f(x)=x3＋3x2＋9x＋a,（I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．让结局不留遗憾，让过程更加完美镇江市实验高中2015届数学文科一轮复习学案

2、题型二：三次函数极值，最值的讨论例3.已知是实数，函数；（1）若，求的值及曲线在点处的切线方程；（2）求在区间上的最大值．例4．已知函数的导数为实数，.（1）若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求、的值；（2）设函数，试判断函数的极值点个数．让结局不留遗憾，让过程更加完美镇江市实验高中2015届数学文科一轮复习学案【课后作业】1.过曲线y＝x3+x-2上的点P0的切线平行于直线y＝4x-1,则切点P0的坐标为2．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)．若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，求t的取值范围．3．函数f(x)=x3＋x2－x在区间［－2，

3、1］上的最大值和最小值分别是4.已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为5．设函数(0<<1)．(1)求函数的单调区间；(2)当∈时，不等式

4、

5、≤，求的取值范围．让结局不留遗憾，让过程更加完美镇江市实验高中2015届数学文科一轮复习学案6.已知函数（1）求函数的极值；（2）若函数的图象与值线恰有三个交点，求实数的取值范围；（3）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围.7.已知函数,为常数,(1)若,求证:函数存在极大值和极小值(2)设取得极大值、极小值时自变量分别为,令点),),若>，直线的斜率为,求函

6、数和的公共递减区间的长度.让结局不留遗憾，让过程更加完美镇江市实验高中2015届数学文科一轮复习学案答案：【典型例题】1．.2．（I），解得x<－1或x>3所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II）于是有22＋a＝20，解得a＝－2．故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝－7，O4－3即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．3.解析：（1）．因为，所以．又当时，，所以曲线处的切线方程为．（2）令，解得．当，即a≤0时，在[0，2]上单调递增，从而．当时，即a≥3时，在[0，2]上单调递减，从而．当，即，在上单调递减，在上单

7、调递增，从而让结局不留遗憾，让过程更加完美镇江市实验高中2015届数学文科一轮复习学案综上所述，4.解（Ⅰ）由已知得，；由，得，．∵，，∴当时，，递增；当时，，递减．∴在区间上的最大值为，∴．又，，∴．由题意得，即，得．故，为所求．（Ⅱ）．∴．二次函数的判别式为，令，得：令，得∵，，∴当时，，函数为单调递增，极值点个数为0；当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数让结局不留遗憾，让过程更加完美镇江市实验高中2015届数学文科一轮复习学案有两个极值点．【课后作业】1.(1,0)或(-1,-4)2.解：f(x)＝a·b＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋

8、x2＋tx＋t，……4分∴f′(x)＝－3x2＋2x＋t.…………7分∵f(x)在(－1,1)上是增函数，∴－3x2＋2x＋t≥0在x∈(－1,1)上恒成立．∴t≥3x2－2x，……………11分令g(x)＝3x2－2x，x∈(－1,1)．∴g(x)∈，∴t≥5.……………15分3．f(x)max=1,f(x)min=－2。4.9万件解析：令导数，解得；令导数，解得，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以在处取得极大值，也是最大值。5.(1)∵f′(x)＝－x2＋4ax－3a2＝－(x－3a)(x－a)，……3分由f′(x)>0得：a

9、3a；……………7分则函数f(x)的单调递增区间为(a,3a)，单调递减区间为(－∞，a)和(3a，＋∞)．(2)∵f′(x)＝－x2＋4ax－3a2＝－(x－2a)2＋a2，∴f′(x)在[a＋1，a＋2]上单调递减，∴f′(x)max＝f′(a＋1)＝2a－1，f′(x)min＝f′(a＋2)＝4a－4.……………11分∵不等式

10、f′(x)

11、≤a恒成立，∴，解得：≤a≤1，……………14分又0