对数函数及其性质运算

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1、对数函数xyo一、复习：1.对数的概念：2.指数函数的定义:如果ax=N,那么数x叫做以a为底N的对数,记作logaN＝x（a>0,a≠1）.函数y=ax(a＞0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.某种细胞1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……则1个这样的细胞分裂x次后得到细胞个数y是分裂次数x的函数，关系式为：反过来，研究分裂多少次可以得到1万个细胞，10万个……则此时分裂次数x与细胞的个数y的关系式是什么？x是y的函数吗？根据对数的定义得到的函数为：x=log2y习惯上表示为：y=log2xy=2

2、x一、引入课题对数函数的定义：一般地函数y=(a＞0,且a≠1)叫做对数函数.其中x是自变量,函数的定义域是（0,+∞）即.注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．，．看对数符号前面系数是否是1，看底数是否是符合条件的常数，看真数的位置上是否只有一个x.练习：判断下列函数是否是对数函数？作对数图像的三个步骤：一、列表（根据给定的自变量分别计算出应变量的值）二、描点（根据列表中的坐标分别在坐标系中标出其对应点）三、连线（将所描的点用平滑的曲线连接起来）对数函数图像的作法：x1/41/2124…y=log2x-2-101

3、2…列表描点作y=log2x图像连线函数y=logax(a＞0且a≠1)底数a＞10＜a＜1图象定义域值域定点值分布单调性趋势对数函数的图象与性质：1xyo(0,+∞)RR(0,+∞)(1,0)(1,0)当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＜0当0＜x＜1时，y＞0在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数底数越大,图象越靠近x轴底数越小，图象越靠近x轴1xyo例1.求下列函数的定义域：y=logax2(2)y=loga(4－x)(3)y=loga(9－x2)(4)y=logx(4－x)定义域:(－∞,4)定义域

4、:(－3,3)定义域:(0,1)∪(1,4)讲解范例(5)求函数的定义域.解：要使函数有意义,必有4x-3>0,log0.5(4x-3)≥0.即4x>3,4x-3≤1.所以所求函数的定义域为{x

5、}.例2.比较下列各组数中两个值的大小：(1)log23.4,log28.5;⑵log0.31.8,log0.32.7;⑶loga5.1,loga5.9(a＞0,a≠1).解：⑴考察对数函数y=log2x,因为它的底数2＞1,所以它在(0,+∞)上是增函数.因为3.4<8.5,于是log23.4＜log28.5;⑵因为函数y=log0.3x在(

6、0,+∞)上是减函数,且1.8<2.7,所以log0.31.8＞log0.32.7.解:①当a＞1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,于是loga5.1＜loga5.9;②当0＜a＜1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,于是loga5.1＞loga5.9.⑶loga5.1,loga5.9(a＞0,a≠1)注:例2是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的,对底数与1的大小关系未明确指出时,要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.分析:对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数

7、a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论:练习1:比较下列各题中两个值的大小:⑴log106log108⑵log0.56log0.54⑶log0.10.5log0.10.6⑷log1.51.6log1.51.4＜＜＞＞练习2：已知下列不等式，比较正数m，n的大小：(1)log3mlog0.3n(3)logamlogan(a>1)答案:(1)mn(4)m>n例2.比较下列各组中两个值的大小:(4)log67,log76;(5)log3π,

8、log20.8.(1)解:∵log67＞log66＝1,log76＜log77＝1,∴log67＞log76;(2)解:∵log3π＞log31＝0,log20.8＜log21＝0,∴log3π＞log20.8.分析:（1）logaa＝1（2）loga1＝0注:比较两个对数的大小时,可在两个对数中间插入一个已知数(如1或0等),间接比较这两个对数的大小.(6)log750log67log54log40.5例3.已知定义域为R的奇函数f(x),当x＞0时,f(x)=log3x,求f(x).解：当x=0时,f(0)=0;当x＜0时,－x＞0

9、,又f(x)为奇函数,∴f(x)=－f(－x)=－log3(－x).函数y=logax(a＞0且a≠1)图像定义域R+R+值域RR单调性增函数减函数过定点（1，0）（1，0）趋势底数越大，图象越靠近x轴底数