数形结合的历史演变及其发展

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3、的实质，有利于扎实打好数学的基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。本文透过数学发展的历史，论述数形结合的重要地位和作用。关键词：数；形；结合；历史演变；发展一、引言数学以客观世界中的空间形式与数量关系为研究对象，数形结合思想是数学中非常重要的思想和解决问题的常用策略，正如华罗庚所指出的“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微。”美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并能创造性思索问题的解法”。在数学家的眼里，世界都是数和形组成的，无处没有数和形。数与形之间建立对应关

4、系，可以把数量关系转化为图形性质，或者把图形性质转化为数量关系，从而使代数问题直观化，或者用代数方法来研究几何问题。二、关于“数”、“形”的涵义数、形两字内涵丰富。从广义上来说，“数”可以指代作为研究客观世界的工具------数学，“形”即为整个客观世界；从数学学科的维度分析，“数”与“形”的解释也具有层次性。如果将“数”理解为代数学、分析学及其衍生出的数学分支的研究对象，那么相应地“形”可以理解为几何学的研究对象。这种理解是基于这样一种隐喻：数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学。但实际上，尤其是近百年数学的发展，数学基础经历了逻辑主义、直觉主义

5、、形式主义等思潮的影响，数与形己经无法概括数学的全部研究对象了，众多学者多倾向于采用更抽象化概括化、更具现代内涵、更具统一性的数学定义。例如，20世纪50年代前苏联一部分颇有影响力的数学家认为：“现代数学就是各种量之间的可能的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的数学”;20世纪80年代一批美国学者将数学简单地定义为关于“模式”的科学：“数学这个领域已被称作模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性”。既然现代数学已经不能再简单地划分为数、形两大领域。那么“数形”究竟怎样来诠释呢?其实，“数形结合”中的“数形”本身

6、就不是一个严格的数学概念，或者说“数形”的语义所指井不完全是数学对象，华罗庚在归纳出该词的时候并不是在进行数学哲学中数学本体的探讨，而是进行类似于波利亚的工作——数学启发法的研究，文中有一句话即为明证：这是“几何”启发出“代数”，但代数的考虑又大大丰富了几何。由此可见，“数形结合”更多具有问题解决的性质，涉及到思维论、教学论、认知心理学、数学方法论等众多领域。因此“数”与“形”可以认为是数学知识的表征形式，对“数”的理解应泛化为：数学文字表征，即数字、文字、式子、数学概念、数学结构、数学性质、数学定理等概念和命题。相应地，“形”泛化为：图形表征，即实物、图像

7、、图形、符号等。三、数与形的扩充与结合简史随着时间的流逝，人类文明进程的不断推进，数学的内容也不断地扩大着，尤其是在17-18世纪直至19世纪，被包括在数学领域内的许多学科和分支已经独立出去，而在各学科的边界又不断创造和衍生出一系列新的学科，这些新学科现在已融合成面向21世纪的庞大的数学科学领域，它是一个具有内在统一性的科学技术群。数与形是数学中的两大基本概念，一部数学史主要是数与形的概念产生、发展、变迁的历史，现代数学也是围绕着这两个概念对其不断抽象、概括、提炼而发展起来的。正因为数学内涵的不断扩充，数学中最原始的对象是数与形这两概念自身也处于不断变化中。

8、从最初计数而产生的自然数，从最初土地测量而产生的几何