分类讨论，谨防漏解

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1、分类讨论，防止漏解作者：朱绍平单位：永安中学二○○五年十一月5分类讨论，防止漏解分类讨论求解是一种重要的数学思想方法，学生在解答有关题目时，常因思考不周，造成漏解、以偏概全的错误。现举出几例进行剖析。一、按零点分类例1．化简︱x-1︱+︱x-3︱。错解：原式＝x-1+x-3=2x-4。剖析：解含多个绝对值符号的题最常用也是最一般的方法是用零点分段法进行分类讨论，即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简即可。上面解法只是其中一种情况。正解：令x-1=0或x-3＝0，得零点x＝1或x＝

2、3共两点，将数轴分成3个部分，即x≤1，1＜x≤3，x＞3，讨论得4-2x，（x≤1））原式=2，（1＜x≤32x-4。（x＞3）二、按性质分类例2．解方程（x+1）2＝（2x-1）2。错解：两边开平方，得x+1＝2x-1，解之得x＝2。5剖析：由平方根的意义可知，两个数的平方相等，这两个数可能相等，也可能互为相反数，应分两种情况讨论，错解只得到了这两数相等，就漏掉了一种情况，于是漏掉了一个解。这里，一般的做法是通过先移项，再运用因式分解法求解，便无需讨论就能得出答案x1＝2，x2＝0。切记在解方程时一般不要施行两边开平方运算。例

3、3．若5a+1和a-19是数m的平方根，求m的值。错解：因5a+1和a-19都是m的平方根，则它们互为相反数，即5a+1+a-19＝0，a=3，所以5a+1＝16，a-19=-16，因此m=（±16）2＝256。剖析：错解只注意5a+1和a-19互为相反数，而忘记了它们还可能相等，因此本题需分两种情况来讨论。正解：①当5a+1与a-19互为相反数时，解法同上，m＝256；②当5a+1=a-19时，a=-5，则5a+1＝-24，故m＝（-24）2＝576。综合①②可知，m＝256或576。三、按存在性分类例4．若一个直角三角形的两边

4、长分别是5cm和12cm，那么这个三角形的周长是多少？错解：在△ABC中，∠C＝90°，AC=12cm，BC＝5cm，则由勾股定理得AB＝，所以C△ABC＝AB+BC+AC＝13+5+12＝30（cm）。剖析：题中只交待了直角三角形的两边，并没有说明是两条直角边，它也可以是一条直角边和一条斜边，因此应分两种情况分类求解：①当5cm和12cm为两直角边时，解法同上；②当12cm为斜边时，另一直角边为，此时C△ABC＝17+（cm）。5因此△ABC的周长为30cm或17+cm。例5．在△ABC中，AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的

5、高，AD=4，求CD和sinC。错解：CD=10，sinC=。剖析：题目中没有画图，作题时应首先画出符合条件的所有情况的图形，然后据图解题。本例符合条件的图形存在两种，一种是∠B为锐角，一种是∠B为钝角，错解中只作了∠B为锐角一种，遗漏了∠B为钝角的情况。∠B为钝角时，CD＝16，sinC＝。例6．若一个三角形的三边长均满足方程x2-6x+8＝0，则此三角形的周长是多少？错解：解方程x2-6x+8＝0得x1＝2，x2＝4，所以三角形的周长为C1=4+4+2=10，C2＝2+2+4＝8。剖析：当求出方程的解x1＝2，x2＝4之后，再

6、求三角形周长时，应该分四种情况进行讨论。错解没有考虑长为2，2，4的三条线段不能构成三角形，几何教学中，当我们作有关三角形的计算时，其实都暗含着一个潜在假设，就是三角形的存在性，即是说三角形存在条件是解决有关三角形计算问题的前提条件，错解就忽视了这个条件，致使出现错误，同时错解还遗漏了两种等边三角形的情况。正解：解方程x2-6x+8＝0得x1＝2，x2＝4，分四种情况讨论如下：①当三边长为4，4，2时，C＝4+4+2＝10；②当三边长为2，2，4时，因为2+2≯4，所以不能构成三角形；5③当三边长为2，2，2时，C＝2+2+2＝6

7、；④当三边长为4，4，4时，C＝4+4+4=12。综上所述，满足题目条件的三角形的周长为6或10或12。四、按条件分类例7．如果3x-4y=0，则=错解：由3x-4y=0，得3x=4y，所以=。剖析：原题没有给出y的取值范围，而当y=0时，无意义，所以应分情况讨论求解。正解：分两种情况：①当y≠0时，由3x-4y=0得3x=4y，所以=；②当y=0时，无意义。例8．已知，求k的值。错解：由等比性质，得k=。剖析：初看这个题目，大部分学生马上就想到了运用等比性质去解，于是得到k=2，以为大功告成，殊不知忽视了等比性质成立的条件，因此

8、解题时应分类讨论。正解：分两种情况：①当a+b+c≠0时，由，得；②当a+b+c=0时，由于a+b=-c，所以。综合①②，所以k=2或-1。5例9．解关于x的不等式2(x-1)＞mx。错解：移项，合并，得(2-m)x＞2。系数化为1，得x>。剖析：