函数模型类型.doc

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1、函数模型的应用题教学研究常州市新桥中学潘采方函数是高中数学的基本脉络，也是历年高考所占比例最大的一部分内容，在近几年高考试卷的直接分值为30-40分左右，在填空题中主要考查了函数的三个要素，四个性质，函数图像的变换(高一知识点)以及导数的几何意义(高二知识点)等方面，在解答题中，有关函数模型的应用题在2009年,2011年和2012年都有所涉及，在压轴题中2008年，2009年考查了函数的基本性质，在2010-2013年考查了利用导数研究函数的性质，并在这些问题考查中突出函数与方程思想、数形结合、等价划归等思想。函数还可以其他几乎所有知识点进行综合出题，函数的难点在于函数广泛

2、的适用性以及函数知识的复杂体系，考生往往很难切中题意并规范解答。结合近几年江苏考试大纲及高考趋势，对函数知识点中函数与方程，函数模型及应用进行全面的剖析及发散，使学生更系统有效的掌握高中数学函数的性质和主要题型，同时在讲题和解题中渗透数学思想方法，立足基础，展望高考。教学时要加强对学生的数学思想方法以及数学能力的培养，提升学生分析和解决问题的能力，力争让每位学生知道高考“考什么，怎么考”。函数模型的分类函数模型类型特点常见函数类型应用直线模型单调直线增减一次函数成正比例关系的有关问题指数函数模型自变量变大，函数值增大的速度越来越快指数函数模型增长率问题，银行利率问题对数函数模

3、型自变量增大，函数值增大的速度越来越慢对数函数模型一般会给出对数模型幂函数模型偶函数：关于y轴对称二次函数模型面积问题利润问题产量问题幂函数模型奇函数：三次函数模型体积问题分段函数模型几个不同的关系式构成常见的一些函数模型票价与路程税与收入三种增长型函数模型的图象与性质函数y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与y轴平行随x增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而不同函数模型的建立数学模型是联系数学与实际问题的桥梁，如何将函数与实际问题相结合是考查学生运用能

4、力的重点内容。关于函数模型这个桥梁的恰当建立是解决问题的重要环节，求解函数模型一般有以下几个步骤：（一）缜密审题，深入挖掘通过认真读题，探索题中隐藏的一定数量关系与数学意义，深入挖掘，捕捉期中的数学模型与数量关系。（二）引进数学符号，建立数学模型根据题意选取参数，设定变量，找出它们的内在联系，选取恰当的代数式表示其关系，建立相应的函数模型，一般自变量设为x，函数设为y，注意变量的实际意义和解析式的意义。（三）解模用数学方法及相关的函数知识点进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解，求解过程中不能忽略实际问题对变量参数的限制条件。（四）解答把计算获得的结果返回到实际

5、问题中去解释问题，即对实际问题进行总结解答。以上过程用框图表示如下：解函数应用题常见的错误(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面；(2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件．一、利用函数模型解抽象函数问题抽象函数是指没有给出函数具体解析式，只给出一些相关关系式。其性质常常是隐而不漏，但一般以学过的常见函数为模型，通过代数关系给出函数性质。这就需要提升考生的观察、分析、类比和转化，找出具体函数模型，再由具体函数相关知识来指导解决抽象函数问题。下面就以常见的几类函数做教学说明。几种常见的抽象函数1、一次函数型抽象函数：。对应函数模型：2、二次函数型抽象函数：对

6、应函数模型：3、指数函数型抽象函数：对应函数模型：对数函数型抽象函数：对应函数模型：幂函数型抽象函数：对应函数模型：（为常数）1、直线型抽象函数例1、已知函数对任意实数，均有，且当时，，，求在的值域。联想：由，推测它对应的模型为分析：由题意可知，要求在上的值域，先要判断函数的单调性和奇偶性。解：设对任意的实数，有，则。因为当时，，所以。因为，所以，即。可知为增函数。令，将其代入，得，再令，则，即。所以，为奇函数，。又，所以在上的值域为2、幂函数型抽象函数例2、定义在R上的函数满足：对任意实数，，总有，且当时，．(1)试求的值；(2)判断的单调性并证明你的结论；(3)，，若，试

7、确定的取值范围(4)试举出一个满足条件的函数．分析：（1）在恒等式中，令，，代入即可得到的值；(2)任取，，且，利用恒等式将变形，再利用当时，，确定的符号，利用函数单调性的定义，即可证明函数的单调性；(3)利用恒等式，将等价转化为，将转化为，从而将问题转化为直线与圆面没有公共点问题，利用直线到圆心的距离大于半径，列出不等关系，求解即可求得的取值范围；(4)根据题设的条件从所学的基本初等函数中，判断选择一个函数即可．联想：当且时，，猜测它的模型函数为，且在R上单调递减。分析：由（2）知，需解不等式。这样，