几种不同类型的函数模型知 识点.pdf

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1、几种不同类型的函数模型一函数模型及数学建模函数模型是解决实际问题的重要数学模型，将实际问题中的变量关系用函数表现出来，然后对函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题．那么如何建立数学模型呢？可按以下步骤完成．(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际问题．建模过程示意图：二几种常见的函数模型1．一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k、b为常数，k

2、≠0)；2．反比例函数模型：f(x)＝＋b(k、b为常数，k≠0)；3．二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)；4．指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a、b、c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；5．对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m、n、a为常数，a>0，a≠1)；6．幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)；7．分段函数模型：这个函数模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．三指、对、幂三种函数模型增长速度的比较正确认识“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长

3、”和幂函数的增长差异．直线上升反映了一次函数(一次项系数大于零)的增长趋势，其增长速度均匀(恒为常数)；在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logx(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不在同一a个“档次”上.随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logx(a>1)的增长速度则a会越来越慢，因此总会存在一个x，当x>x时，就有logx

4、a>1),y=logx(a>1)和ay=xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上；（2）随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度，表现为指数爆炸；（3）随着x的增大，y=logax(a>1)的增长速度会越来越慢；（4）随着x的增大，y=ax(a>1)的图象逐渐表现为与y轴平行一样，而y=logx(a>1)的图象逐a渐表现为与x轴平行一样；（5）当a>1,n>0时，总会存在一个x0,当x>x0时，有ax＞xn＞logx；（6）当0

5、一个x,当x>xa00时，有logx＜xn＜axa一次函数模型例1为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y1(元)、y2(元)的关系分别如图(1)、图(2)所示．图(1)图(2)(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月(30天)内使用哪种卡便宜．思路点拨：由题目可知函数模型为直线型，可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数值大小的比较．解：(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝

6、k2x，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1，y2得k1＝，k2＝.∴y1＝x＋29(x≥0)，y2＝x(x≥0)．(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致；当x<96时，y1>y2，即便民卡便宜；当x>96时，y1

7、例2一个报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买进多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能获得的利润．解：设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份报纸，可列表：数量(份)价格(元)金额(元)买进30x0.206x20x＋卖出10×2500.306x＋7500.8x－退回10(x－250)0.08200设每月所获

8、利润为y元，则y＝[(6x＋750)＋(0.8x－200)]－6x＝0.8x＋550(250≤x≤400，x∈N)．∵y＝0.8x＋550在[250,400]上是增