函数与导函数类型专题.doc

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1、23个函数与导函数类型专题1、函数第1题已知函数，若，且，，求的取值范围.[解析]⑴将不等式化成模式由得：，化简得：①⑵构建含变量的新函数构建函数：（，且）其导函数由求得：即：②⑶确定的增减性先求的极值点，由得：即：③满足③式的，即：的极值点在时，由于有界，而无界故：即：在时，，单调递减；那么，在时，单调递增.满足③式得恰好是⑷在由增减性化成不等式第45页在区间，由于为单调递减函数，故：应用不等式：得：即：，即：的最大值是代入①式得：，即：，即：④⑸在由增减性化成不等式在区间，由于为单调递增函数，故：由于极限，

2、故：，代入①式得：⑤⑹总结结论综合④和⑤式得：.故：的取值范围是本题的要点：求出的最小值或最小极限值.特刊：洛必达法则解析⑴由①式，设函数当时，用洛必达法则得：，则当时，用洛必达法则得：，则当时，用洛必达法则得：第45页其中，的最小值是，所以本题结果是，即：⑵关于极限将函数以为中心，以泰勒级数展开因为：；；；；；……，代入泰勒公式：得：于是：上面用泰勒级数证明了.2、函数第2题已知函数，，，连续，若存在均属于区间的，且，使，证明：[解析]⑴求出函数的导函数第45页函数：①其导函数：②⑵给出函数的单调区间由于，由

3、②式知：的符号由的符号决定.当，即：时，，函数单调递增；当，即：时，，函数单调递减；当，即：时，，函数达到极大值.⑶由区间的增减性给出不等式由均属于区间，且，得到：，若，则分属于峰值点的两侧即：，.所以：所在的区间为单调递增区间，所在的区间为单调递减区间.故，依据函数单调性，在单调递增区间有：③在单调递减区间有：④⑷将数据代入不等式由①式得：；；代入③得：，即：，即：⑤代入④式得：，即：，即：⑥⑸总结结论第45页结合⑤和⑥式得：.证毕.本题的要点：用导数来确定函数的单调区间，利用单调性来证明本题.特刊：特值解析

4、由⑶已得：，，且：，若：，则：即：，故：当：，时，当：，时，故：处于这两个特值之间，即：3、函数第3题已知函数.若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，试证明：.[解析]⑴求出函数导函数函数的定义域由可得：.导函数为：①⑵确定函数的单调区间当，即时，，函数单调递增；当，即时，，函数单调递减；当，即时，，函数达到极大值.第45页②⑶分析图像与轴的交点，求出区间由于，若与轴交于两点，则其极值点必须.即：，即：③考虑到基本不等式及③式得：即：，即：，即：结合，即：得：④⑷求出点以及关于极值点的对称点两点分居于极

5、值点两侧，即：，设：，，则，且（因）设：，则与处于相同得单调递减区间.于是：，即：故：⑤将替换成代入就得到：第45页⑥⑸比较点的函数值，以增减性确定其位置构造函数：将⑤⑥式代入上式得：⑦其对的导函数为：⑧由于④式及，所以.即：是随的增函数，其最小值是在时，即：由⑦式得：，故：.当时，，即：由于和在同一单调递减区间，所以由得：即：，即：或⑨⑹得出结论那么，由⑨式得：即：.证毕.本题的关键：首先求得极值点，以为对称轴看的对称点就可以得到结论.具体措施是：设点，利用函数的单调性得到特刊：本题点评第45页本题的解题思路

6、：⑴函数图象与轴有2个交点，则在之间应该有函数的极值点，于是得到极值点；⑵以极值点为对称轴，以等宽度（）得到“对称点C”（仅横坐标对称），这样，C和B处于同一个单调区间；⑶利用单调性比较C和B点的函数值，出现不等式.4、函数第4题已知函数.若，求的最大值.[解析]⑴求出函数的解析式由于和都是常数，所以设，，利用待定系数法求出函数的解析式.设：，则：其导函数为：，则：所以：，，函数的解析式为：①⑵化简不等式即：，故：②⑶构建新函数，并求其极值点构建函数③其导函数：④要使②式得到满足，必须.即：，或的最小值等于0故

7、当取得极值时有：，由④式得极值点：此时的由③得：⑤第45页⑷求的最大值由⑤式得：，则：⑥令：，则⑥式右边为：（）其导函数为：⑦当，即：时，，单调递增；当，即：时，，单调递减；当，即：时，，达到极大值.此时，的极大值为：⑧⑸得出结论将⑧代入⑥式得：，故：的最大值为本题的关键：利用已知的不等式得到关于的不等式即⑥式，然后求不等式⑥式的极值.5、函数第5题已知函数的最小值为，其中.若对任意的，有成立，求实数的最小值.[解析]⑴利用基本不等式求出利用基本不等式或，得：即：，即：已知的最小值为，故，即：或者，将的端点值代

8、入，利用最小值为，求得⑵用导数法求出函数的导函数为：①第45页当，即时，，函数单调递减；当，即时，，函数单调递增；当，即时，，函数达到极小值.依题意，的最小值为，故当时，即：，故：函数的解析式为：②⑶构建新函数当时，有，即：构建函数：③则函数，即的最大值为.实数的最小值对应于的最大值点.⑷确定的单调区间和极值于是由③式得导函数为：④当时，由③式得函数；则是极值点，同时也是区间的端点.当