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1、§3线性变换的特征值与特征向量教学目的：使学生理解特征值与特征向量的概念,掌握特征值与特征向量的求法.教学重点：特征值与特征向量的概念,掌握特征值与特征向量的求法.在线性空间中取定一个基后,线性变换就可以用矩阵来表示.为了用矩阵来研究线性变换,对于每个给定的线性变换,我们希望能找到一个基,使它的矩阵具有最简单的形式.这个问题与所谓线性变换的特征值与特征向量有密切联系,因此,我们先来介绍特征值与特征向量的概念,它们在线性变换的研究中具有基本的重要性.定义3.1设A是数域K上的线性空间V的线性变换.对于数域K中的一个数λ,若存在V中的
2、一个非零向量0ξ,使得A(ξ)=λξ(3.1)0是线性变换A的一个特征值,ξ称为A的属于λ则称λ00的一个特征向量.如果λ的一个特征向量,则对于数域Kξ是属于0中的任意非零数k,kξ也是属于λ0的特征向量,这是因为A(kkξ)=A(ξλ)==kξλ(kξ)00所以,属于一个特征值的特征向量是不唯一的.我们把线性变换A的属于特征值λ的特征向量0再添上零向量后得到的集合记为V,即λ0VV={
3、ξ∈=A(ξλ)ξ}λ00容易证明V是一个子空间,称之为A的属于特征值λλ00的特征子空间.类似地,可定义方阵的特征值与特征向量的概念.定义3.
4、2设AM∈n()K.对于数域K中的一个数λ0,n若存在n维非零列向量X∈K使得AX=λX(3.2)0则称λ0是矩阵A的一个特征值,X称为矩阵A的属于λ0的一个特征向量.在线性空间V中取定一个基η,,ηη",,线性变12n换A关于这个基的矩阵是A,即A(η,ηη,"",)=(η,η,,η)A12nn12对于向量⎛⎞x1⎜⎟x==(,,,)⎜⎟2(,,,)Xξηη""ηηηη12nn12⎜⎟#⎜⎟⎜⎟x⎝⎠n容易证明AA()ξ=λξ⇔=XλX00因此ξ是线性变换A的属于λ的特征向量.0⇔X是矩阵A的属于λ0的特征向量.这样我们可以通过
5、求线性变换的矩阵的特征值与特征向量来得到线性变换的特征值与特征向量.下面讨论特征值与特征向量的求法.从等式(3.2)可得()λEA−X=0(3.3)0因为X≠0,故必有λEA−=0(3.4)0反过来,若数λ∈K满足等式(3.4),则线性方程组(3.3)0有非零解X,从而等式(3.2)成立,故λ是矩阵A的特征0值,而齐次线性方程组(3.3)的非零解就是属于这个特征值λ0的特征向量.于是数λ0∈K是矩阵A的特征值的充分必要条件是等式(3.4)成立.定义3.3设Aa=()ij∈Mn(K)是一个n阶方阵,λ是一个变量,多项式λ−−aa"−
6、a11121n−−aaλ"−a21222nλEA−=###−−aa"λ−ann12nn称为矩阵A的特征多项式,记为χA()λ.上面的讨论说明,数λ∈K是矩阵A的特征值的0充分必要条件为λ0是特征多项式χA()λ的根.求矩阵AM∈n()K的特征值与特征向量的方法为:(1)求出特征多项式χA()λ在数域K内的所有根,它们就是矩阵A的全部特征值.(2)如果λ0是其中一个特征值,则齐次线性方程组()λEA−X=00的非零解就是矩阵A的属于这个特征值的特征向量.因此,矩阵A的属于一个特征值λ的所有特征向量0连同零向量构成n的一个子空间(即是
7、上述线性方程K组的解空间),称为属于这个特征值的特征子空间.这与线性变换的特征子空间是类似的.特征值自然是由线性变换决定的,但在有限维线性空间中,取定一个基后,特征值就是线性变换在这个基下的矩阵的特征多项式的根.基取得不同,线性变换的矩阵一般不同,但这些矩阵是相似的.对于相似矩阵我们有定理3.1相似的矩阵有相同的特征多项式.−1证明设A∼B,即存在可逆矩阵T使得BT=AT.于是−−11χλ()=−λEBE=−λTAT=T(λE−A)TB−1=−TEλλAT=E−A=χ()λA定理3.1说明,线性变换的矩阵的特征多项式与基的选择无关
8、,而是直接被线性变换决定的.因此,以后就把线性变换关于一个基的矩阵的特征多项式就称为线性变换的特征多项式.例3.1设线性变换A在基η12,,ηη3下的矩阵为⎛⎞122⎜⎟A=212⎜⎟⎜⎟⎝⎠221求A的特征值与特征子空间.解A的特征多项式为λ−12−−2χλ()=−λEA=−2λ−1−2A−22−−λ1λλ+−1(1+)0=−21λ−−2−−22λ−111−0=+(1λλ)−2−1−2−−22λ−11002=+(1λλ)−2−3−2=(1λ+)(λ−5)−−24λ−1所以特征值为−1与5.把特征值λ=−1代入齐次线性方程组()λ
9、EA−X=0(3.5)得⎧−22xx−−2x=0123⎪⎨−22xx−−2x=0123⎪⎩−22xx−−2x=0123它的一个基础解系为⎛⎞−11⎛⎞−⎜⎟⎜⎟1,0⎜⎟⎜⎟⎜⎟01⎜⎟⎝⎠⎝⎠故线性变换A的属于特征值−1的特征子空间为VL=(,−
