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1、§4可对角化的线性变换教学目的：使学生理解线性变换可对角化的含义及可对角化的判定.教学重点与难道：线性变换可对角化的判定.对角矩阵可以认为是最简单的一类矩阵.现在我们来讨论哪些线性变换的矩阵在适当的一个基下可以是对角矩阵.定义4.1如果n维线性空间V的线性变换A在V的某个基下的矩阵是对角矩阵,则称A是可对角化的线性变换.类似地,如果一个n阶方阵A可以相似于一个对角矩阵,则称它是可对角化的矩阵.如果线性变换A可对角化,则存在V的一个基η1,,?ηn,使得A关于这个基的矩阵为对角矩阵diag(λ1,?,λn).于是A(η)=λη.in=1,?iii所以,这个基的基向量都是线性
2、变换A的特征向量.反过来,如果V中有一个由线性变换A的特征向量构成的基,则易见A关于这个基的矩阵是对角矩阵.于是,得定理4.1n维线性空间V的线性变换A可对角化的充分必要条件是:V有一个由A的特征向量构成的基(或者说,线性变换A有n个线性无关的特征向量).命题4.2线性变换A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的.证明对特征值的个数作数学归纳法.由于特征向量是非零向量,所以单个的特征向量是线性无关的.设属于m个不同特征值的特征向量是线性无关的,我们证明属于m+1个不同特征值,,ξ?ξλ?λ的特征向量11,,m+11m+也线性无关.设等式kkξ+?++ξξk=0(4.1)1
3、1mmm++1m1成立.用线性变换A作用(4.1)式的两端,得kkλξλ++?ξ+kλξ=0(4.2)111mmmm++1m1m+1用λ乘(4.1)式两端,得m+1kkλξλ+?++ξkλξ=0(4.3)11mm++1m1mm+11m+m+1(4.3)式减(4.2)式,得kk()λ−+λξ?+(λ−λ)ξ=011mm++11m1mm根据归纳假设,ξ1,,?ξm线性无关,于是ki()λ−λ==0,1,?,mim+1i但λ−≠λ0,im=1,?,,所以ki=0,=1,?,m.代入mi+1i(4.1)式得到kξ=0mm++11又因ξm+1≠0,故km+1=0.这就证明了ξ11,
4、,?ξm+线性无关.推论4.3设A是数域K上的n维线性空间V的线性变换.如果A的特征多项式在数域K中有n个不同的根(即A有n个不同的特征值),那么A可对角化.命题4.4如果λ1,,?λr是线性变换A的互不相同的特征值,而ξii1,,?ξki是属于特征值λi的线性无关的特征向量,ir=1,?,,那么向量组ξ,,??ξξ,,,,?ξ111kr11rkr也线性无关.命题4.4的证明与命题4.3的证明类似,也是对特征值的个数作数学归纳法.命题4.5n维线性空间V的线性变换A可对角化的充分必要条件是V可表为A的特征子空间的直和.证明(必要性)如果线性变换A可对角化,则V中存在一个由
5、A的特征向量构成的基,不妨设ξ,,??ξξ,,,,?ξ111kr11rkr是由A的特征向量构成的一个基,其中ξii1,,?ξk是属于i特征值λ的特征向量,kk+?+=n.令i1rVL=(,ξ??,ξ),i=1,,rii1iki则VV+??+=L(,,ξξξ)+?+L(,?,ξ)11rk111r1rkr=L(,,ξξ??,,ξ,?,ξ)111kr11rkr=V且dimVV++??dim=k++k=n=dimV11rr所以VV=⊕⊕?V1r我们再证明V就是V.由于ξ,,?ξ∈V,故iλiii1kiiλVV⊆.反过来,设ξ∈VV⊆,ξ可分解为iλλiiξ=+ξξ??+,(ξ∈V
6、i,=1,,r)1riiA(ξ)=+A(ξξ)??+A()=λξ++λξ11rr1r==λξλξ+?+λξii1ir由分解式的唯一性,当ji≠时,ξj=0,因而ξ=ξii∈V,即VV⊆.所以VV=.λiiiλi(充分性)设VV=⊕⊕?Vλ1λr则只要选取每个特征子空间Vλ的一个基ξii1,,?ξkii(其中kV=dim),ir=1,?,,把它们合并起来便得Viλi的一个基ξ,,??ξξ,,,,?ξ,其中每个向量都111kr11rkr是线性变换A的特征向量,所以A可对角化.推论4.5n维线性空间V的线性变换A可对角化的充分必要条件是A的特征子空间的维数之和等于n.证明注意到
7、特征子空间的和是直和即可得到结论.现设λ0是线性变换A的一个特征值,特征子空间Vλ0的维数为k,在Vλ中取一个基ξ1,,?ξk,把它扩充为0线性空间V的一个基ξ,,??ξξ,,,ξ11kk+n线性变换A关于这个基的矩阵有如下形状⎛⎞λEA01kA=⎜⎟0A⎝⎠2因此A的特征多项式是()λλ−−EA01kχλ()=−λEA=An0λE−Ank−2kk=−()λλλE−Af=()λ−λ(λ)02nk−0这说明λ0至少是特征多项式的k重根.所以,特征子空间V的维数不超过λ的重数.λ00现在容易得到如下的命题4.6设A是数域K上的n线
