非线性大阻尼系统的摄动法

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1、维普资讯http://www.cqvip.com2005年8月江西科技师范学院学报Aug．，2005第4期JournalofJiangxiScience&TechnologyNormalUniversityNo．4非线性大阻尼系统的摄动法李汉华(江西建设职业技术学院；江西南昌330038)摘要：文中提出大阻尼非线性振动系统一种改进的摄动法，并应用这种新的方法研究了大阻尼Vanderpol方程的一次近似解。关键词：非线性；递推公式；平均频率中图分类号：TB122文献标识码：A文章编号：1007—3558(2

2、005)04-0092—030引言～=1．．·Xn-l1．．·AB1．．·Bt)(3)在工程中，有许多振动系统其阻尼都比较大。如：=c如￡)+[cm(￡)cos+如t)sinm~】(4)而以前非线性振动理论中的摄动法只适合于小阻尼n=o(8)的情况，对于大阻尼n=o(1)的情况并不适用。本文采用新的解析方法对大阻尼情况进行了有令：％刚=嘶￡)+2∑cosin](5)效的处理，得到了满意的结果。在理论上比较严谨。将Fn，B代入式(3)，并令两端自由项、cosrn~、同时又有较高的计算精度。sinrr~的系数

3、相等，于是得到确定XnA，B展开式1周期解的构造及其递推公式中诸系数的递推公式如下：考虑系统n202鲁+砉(口+2x+2nx+to2x=sf(x，，￡))(1)对式(1)构造如下摄动解：：c。一n是+倒‘一x=acos~+u(t)+sxl(￡)+s2(￡)+⋯⋯+nAn(2∞+8An～,．t+口)=一n叶t(￡)+s她￡)+．．’n(2A=nd一口dada优aOtfI=to*+sBt刚+s(a，刚+．．。(2)式中：．=：、(3+口=一倒口誓lna2{~I一一倒u~x+2nx+to2x=g(x)的特解，将

4、，代入式沈f(1)，且把，，￡)展开为s幂级数，最后比较两端s”的系数得：(-ha宴+nA一2倒+)cos~p一(2to'A一2naBn—n一倒(m+1)t+口晕=(ndao't—oao'tdam-1)+口ndot+a／．o’OI(p一警优)si’(’n202d鲁+oAx“一n一倒‘(t一口％上=如n监BaSt+2n争)一倒(。一口．收稿日期：2004—12—20作者简介：李汉华(1970一)，男，江西金溪人，江西建设职业技术学院副院长。维普资讯http://www.cqvip.com2005年李汉华：非

5、线性大阻尼系统的摄动法m=3，4，⋯，k一1嘶(￡)=寺(1一手)一nx。*(5co'~+2n2)2)u2+警n⋯’)口∞=)f(一s2min2vt)nda一伽+1一∞=fI[_3t，(9co'~+n2-v2)c。一3警n()警∞=Ck+)fnZo-v))sinvt](~Olkn刊+2)3吨等∞=fI(6)卢(0c，f)=h[3nv@*2+n2+tr2)c。st膳+(一54c一2n4_t，4—当式(6)右端为a的多项式，且其系数为t的函数时，易验证：对应于a项，如24w'2n2+9w'zv)sinvt]d

6、(~d-(一no)⋯+(f)，。：c)dl有与之相应的特解有o)~+2(￡)=一2n1a2(+n：a~(t)d-，)~n2+2n4(￡)=1(1一2)口一2o)*4+7o)as由于上述诸式可化为一线性微分方程组，故它+n(n们对应于整个多项式之通解可由对应于每一项之特+[c。s2vt+nvsin2vt]口解的叠加求出。在求得0c与G后，按照式(6)自下而上顺序可依次将0cK．1'pK．1．．·，0c1，p1，oto，A及xn求vh(1一下h2)出。物(￡)前[一c。sinvt]2大阻尼Vanderpol方

7、程的一次近似解研究受简谐干扰力的大阻尼Vanderpol方程：+。4『．_[9os3vt+6nsin3vt](9)+36n]⋯～一x+2nx+w~x=e(1-x2)x+Hsin(vt+q)(7)式中：△=(9n2(18to．2+n2+2v2)此时：F1=(1一互=[1一(∞os~o+hsinvt)](一ncos一uF1=[去[(to．2_It厂J(一—+叶I印，1+十L2+十(c)．g1)ato'sin~+hvcosvt)+2n(2nh-vp广印2’]=c。(+∑[cf)cosm~o+d．,(a,t)si

8、nnup]=(去[(L’‘_们1l厂J(2nh一叩广一印2+十．gq2)J式中：c。￡)=(t，一}一争铡c。s+nha2sinvt一2n(一vh+np1一t2’Q1)]3hnvp=-．．△+}t，c。svth(一52n一22+93ncf)=(1h2-1)n叶}一1n。svt-vh2asin2vt(￡)=(1h一1)og*a一1*Ⅱ3一lo；h~。s2v￡一型(9g2=(一36wnn+n，3)(0)(￡)=一c。s+nsinv