线性代数-第二章矩阵与向量2.2向量及其线性运算

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1、第二章矩阵与向量§2.2向量及其线性运算一、n维向量的概念二、n维向量的线性运算三、向量空间与子空间四、小结思考题第二章矩阵与向量一、n维向量概念定义2.2.1由n个数组成的有序数组(a1,a2,…an)称为一个n维向量.=(a1,a2,…an)其中第i个数ai(i=1,2,…,n)称为n维向量的第i个分量或坐标.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.第二章矩阵与向量例如，n元线性方程(8)中第i(1im)个方程axaxaxbi11i22inni的系数和常数项对应着一个n1维向量(aa,,,a

2、,)bi12iini而该方程的一个解xcx,c,,xc可用一个n1122nn维向量(,cc,,c)来表示，该方程组的解构成的n维12n向量叫做该方程组的解向量.规定：两个向量=(a1,a2,…an),=(b1,b2,…bn)相等，记=ai=bi(i=1,2,…,n)第二章矩阵与向量零向量0=(0,0,…,0)负向量对=(a1,a2,…an)称(－a1,－a2,…,－an)为的负向量.记为－.－=(－a1,－a2,…,－an)行向量=(a1,a2,…,an)a1列向量a2(,aa,,a)T

3、12nan第二章矩阵与向量注意:１．行向量和列向量只是写法上不同，而本质上并没有区别.２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；第二章矩阵与向量二、n维向量的线性运算定义2.2.2设=(a1,a2,…,an)，=(b1,b2,…,bn)都是n维向量，向量(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)称为向量与的和，记作+，即+=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)由负向量即可定义向量的减法：－=+(－)=(a1－b1,…,an－bn)第二章矩阵与向量定义2.2.3设=(a1,a2,…,an)

4、，是实数，定义=(a1,a2,…,an)称为数与向量的乘积，记作，简称为数乘.数与向量的乘积的性质有:(1)０0(2)(-１)(3)00(4)如果０，0，那么0.向量的加减法及数乘运算统称为向量的线性运算.第二章矩阵与向量向量的线性运算满足八条运算律设、、是n维向量，0是n维零向量，k、l是任意实数。(1)+＝+(2)(+)+＝+(+)(3)+0＝(4)+(－)＝0第二章矩阵与向量(5)k(+)＝k+k(6)(k+l)=k+l(7)(k

5、l)=k(l)(8)1·=第二章矩阵与向量例1设=(1，3，-2，2),=(5，1，-2，0)，若已知+2=3，求向量.解:由+2=3得11(3a)[(15,3,6,0)(1,3,2,2)]221(14,0,4,2)(7,0,2,1)25317例2已知向量3，3417，求向量23.112122248第二章矩阵与向量37解：由34171228得53

6、123174111(3317)8224422824841第二章矩阵与向量所以10919231236601246108311第二章矩阵与向量三、向量空间与子空间定义设V是n维向量的集合，如果V非空，且对向量的两种运算封闭，即V满足:(1),V，有+V(2)V，kR，有k

7、V则称V是一个向量空间.第二章矩阵与向量例如(1)全体n维向量构成一个向量空间，称n为n维向量空间：记作R.(2)V1={(0,a2,…,an)

8、aiR,i=2,3,…n}是一nn个向量空间，且V1R，称为R的一个子空间.(3)集合V{x(1,x,,xR}不是向量空间.因为22n若(1,a,,a)V,则2(2,2,a,2a)V.2nn222第二章矩阵与向量定义设V是一个向量空间，V1V，若V1也是一个向量空间(即对向量的两种运算封闭)，则称V1是V的一个子空间.例如:任何由n维向量所组成的向量空间V，总

9、有VRn,所以这样的向量空间总是Rn的子空间.注：一个向量空间V至少有两个子空间：V及零子空间{0}，称为平凡子空间.第二章矩阵与向量n例：设,,,R12mL{kkk

10、kRi