复数与复变函数2

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1、复变函数与积分变换北京交通大学理学院北京2011.9北京交通大学本科生工程数学电子教案课程名称复变函数与积分变换教材《工程数学-复变函数》(第四版)西安交通大学高等数学教研室编总学时32学时教师姓名黄晓鸣课程简介研究对象复变函数（自变量为复数的函数）主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。主要内容复变函数的积分、级数、留数、共形映射等。复数与复变函数、解析函数、学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。背　景复数是十六世纪人们

2、在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass

3、(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。第一章复数与复变函数1.复数的概念2.代数运算3.共轭复数§1.1复数及其代数运算一般,任意两个复数不能比较大小。1.复数的概念定义对任意两实数x、y,称z=x+iy或z=x+yi为复数。复数z的

4、实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)复数的模判断复数相等定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代数运算四则运算z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同）即，共轭复数的性质3.共轭复数定义若z=x

5、+iy,称z=x-iy为z的共轭复数.(conjugate)1.点的表示2.向量表示法3.三角表示法4.指数表示法§1.2复数的表示方法1.点的表示点的表示：数z与点z同义.无穷远点怎么表示？扩充复平面：复球面：xPNS扩充复平面上的无穷远点与复球面上的北极对应！2.向量表示法oxy(z)P(x,y)xy称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴为始边,以向量为终边的角的弧度数称为复数z=x+iy的辐角(z≠0时).辐角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其中满足的θ0称为辐角Argz的主值，记作θ0=argz。z=0时，辐角不确定。计算argz(z≠0)的公式当

6、z落于一,四象限时，不变。当z落于第二象限时，加。当z落于第三象限时，减。请注意复数的幅角主值的计算！oxy(z)z1z2z1+z2z2-z1由向量表示法知3.三角表示法4.指数表示法引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。例1用复数方程表示:（1）过两点zj=xj+iyj(j=1,2)的直线；（2）中心在点(0,-1),半径为2的圆。oxy(z)Lz1z2z解（1）z=z1+t(z2-z1)（-∞

7、问题的需要.1.复数的乘积与商2.复数的乘幂3.复数的方根§1.3复数的乘幂与方根定理1两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。证明设z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2则z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)1.