一、复数与复变函数

《一、复数与复变函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、复变函数2014/11/131Thursday参考教辅书《复变函数》,钟玉泉著,高等教育出版社。《复变函数与积分变换》,华中科技大学数学系编著,高等教育出版社。《复变函数》,西安交通大学数学教研室编著,高等教育出版社。其配套学习辅导与习题解答书籍。2目录第一章复数与复变函数第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章解析函数的级数表示第五章留数及其应用第六章共形映射2014/11/133Thursday历史背景2实系数一元二次方程在实数域无解，如x10。有解，需负数开方有意义，即扩大数系，引入虚数。16世纪中，意大利人Cardano解三次方程时，产生负数开方思想。此时只不过

2、一种形式上的表示，并无实际意义。2014/11/134Thursday17-18世纪，随着微积分的创立，瑞士人Euler发现了复指数函数和三角函数的关系，即Euler公式，建立了复数理论，引入虚数单i位“”。同时，复数有了几何上解释，使其与平面向量对应起来，解决实际问题。19-20世纪，经过法国人Cauchy、德国人Riemann、Weierstrass等人努力，形成了非常系统的复数理论，并渗入其它数学分支，广泛应用到物理、力学等其他学科。2014/11/135Thursday第一章复数与复变函数复变函数就是自变量为复数的函数，本章先学习复数的概念、性质与运算，然后再引入平面上的点集、复变函

3、数极限、连续。本章中的许多概念在形式上与微积分学中一些基本概念有相似之处，可以把它们看作微积分学中相应的概念及定理在复2014/11/13数域中的推广．6Thursday第一章复数与复变函数1.1复数的概念、性质、运算1.2复数的表示1.3平面点集的一般概念1.4无穷大与复球面1.5复变函数的极限，连续2014/11/137Thursday第一节复数一、复数的基本概念定义：设与都是实数，称1xyxiy为复数，2记为：zxiy,i1称xz为的实部(Re),al记Rezx称yz为的虚部(Imaginary),记Imzy例如：zi2,则Rezz2,Im1特别地，当

4、y0,时则zx为实数；当x0且y0,时则ziy,称为纯虚数；2014/11/13Thursday8定义2：设两复数z1x1iy1与z2x2iy2，则，z1z2x1x2y1y2即RezRe,ImzzImz1212二、复数的代数运算1.复数的和、差、积、商设复数zxiy与zxiy，则111222和与差：zz(xx)i(yy)121212积：zz12(xx12yy12)ixy(12xy21)zxxyyxyxy商：112122112()iz(),022222zxyxy22222复数的运算满足：交换律、结合律、分配律．注意到此时

5、进行积商运算时候的运算复杂程度2014/11/13Thursday92．共轭复数及性质定义3：设复数zxiy，则称复数xiyz为的共轭复数，记做z重要性质：zz11(1)zzzz,zzzz,12121212zz22(2)zz222(3)zz(Re)z(Im)zz(4)zz2Rez,zz2Imiz复数的共轭性质在实际计算和证明中更有优势1032i例1．计算复数23i解：法一（商的公式）z1xx12yy12xy21xy1232(2)32(2)33()i()iizx2y2x2y22222222222323

6、法二（共轭性质）______z1zz12zz12(32)(23)ii(66)i(49)___2izz

7、

8、2222zz(23)(23)ii2322应用共轭性质来计算显得简单，在后面计算中要灵活运用共轭。2014/11/1311Thursday2例2．设（xy2)ix(y)0,求实数xy,.xy20解：由题意得2,xy0xx12解得：或.yy1413i•例3．设复数z,求Re(),Im()zz与zz.ii113ii3(1ii)31解：因为ziii1ii()(1i)(1i)223

9、132215所以Rez,Imz,zz()()222222014/11/1312Thursday例4．设zxiyz,xiy为两个任意复数，111222证明：zzzz2Rezz121212证明：zzzz(xiy)(xiy)(xiy)(xiy)121211231122(xxyy)ixy(xy)(xxyy)ixy(xy)12122112121221122(xx