对数与对数函数

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1、对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：b=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b. 如果a（2）指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①loga（MN）=logaM+logaN.②logaM=logaM－logaN.N③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④对数换底公式：logbN=loglogaaNb（a＞0，a≠1，b＞0，b

2、≠1，N＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义:logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运

3、算公式：logaM^n=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象yyy=logxa>a(1)O1x1Oxy=logax(0

4、.（2005年春季北京，2）函数f（x）=

5、log2x

6、的图象是yy111x-11x OOAByy11O1xO1xCD解析：f（x）=log2logx,2x,x01,x1.答案：A1.（2004年春季北京）若f－1（x）为函数f（x）=lg（x+1）的反函数，则f－1（x）的值域为___________________.解析：f－1（x）的值域为f（x）=lg（x+1）的定义域.由f（x）=lg（x+1）的定义域为（－1，+∞），∴f－1（x）的值域为（－1，+∞）.答案：（－1，+∞）2.已知f（x）

7、的定义域为［0，1］，则函数y=f［log1（3－x）］的定义2域是__________.解析：由0≤log1（3－x）≤1log211≤log21（3－x）≤log211221≤3－x≤12≤x≤25.答案：［2，25］23.若logx7y=z，则x、y、z之间满足A.y7=xzB.y=x7zzD.y=zx C.y=7xz=解析：由logx7y=zx7z=y，即y=x7z.答案：B7yx2，b=log2，c=log4.已知1＜m＜n，令a=（lognm）nmn（lognm），则A.a＜b＜cB.a＜c

8、＜bC.b＜a＜cD.c＜a＜b解析：∵1＜m＜n，∴0＜lognm＜1.∴logn（lognm）＜0.答案：D5.（2004年天津，5）若函数f（x）=logax（0＜a＜1）在区间［a，2a］上的最大值是最小值的3倍，则a等于A.2B.42C.21D.412解析：∵0＜a＜1，∴f（x）=logax是减函数.∴logaa=3·loga2a.∴loga2a=1.∴1+loga2=a2=31.∴loga2=－a2=－32.∴a=32.答案：A41.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝

9、－2，那么a等于A.1B.－21C.2D.－22解析：y=log2

10、ax－1

11、=log2

12、a（x－1）

13、，对称轴为x=a1，由a1=－2a得a=－1.答案：B2注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f（0）=f（－4），可得0=log2

14、－4a－1

15、.∴

16、4a+1

17、=1.∴4a+1=1或4a+1=－1.∵a≠0，∴a=－1.22.函数f（x）=log2

18、x

19、，g（x）=－x2+2，则f（x）·g（x）的图象只可能是yyOxOxAByyOxOxCD解析：∵f（x）与g（x）都是偶函数，∴f（x）·g（x）也

20、是偶函数，由此可排除A、D.又由x→+∞时，f（x）·g（x）→－∞，可排除B.答案：C3.（2004年湖南，理3）设f－1（x）是f（x）=log2（x+1）的反函数，2（x+1）的反函数，若［1+f－1（a）］［1+f－1（b）］=8，则f（a+b）的值为A.1B.2C.3D.log23解析：∵f－1－1－1（x）=2x－1，∴［1+fx－1，∴［1+f（a）］［1+f（b）］=2a·2b=2a+b.a·2b=2a+b.由已知2a+b=