对数与对数函数基础

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1、(一)对数概念:　　1.如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底　　　数，N叫做真数.　　2.对数恒等式：　　3.对数具有下列性质：　　(1)0和负数没有对数，即；　　(2)1的对数为0，即；　　(3)底的对数等于1，即.(二)常用对数与自然对数　　通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e为底的对数叫做自然对数，.(三)积、商、幂的对数　　已知　　(1)；　　　推广：　　(2)；　　(3).(四)换底公式　　同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a＞0，a≠1，M＞0的前提下有:　　(1)　　　　令logaM=b，则有ab=M，(a

2、b)n=Mn，即，即，　　　　即:.　　(2)，令logaM=b，则有ab=M，则有5　　　　即，即，即　　当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:　　.知识点二、对数函数　　1.函数y=logax(a＞0，a≠1)叫做对数函数.　　2.在同一坐标系内，当a＞1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0＜a＜1时，对数函数的图　　　象随a的增大而远离x轴.(见图1)　　　　　　　　　　　　　　(1)对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R　　(2)对数函数y=

3、logax(a＞0，a≠1)的图像过点(1，0)　　(3)当a＞1时，三、典型例题类型一、指数式与对数式互化及其应用　　1.将下列指数式与对数式互化：　　(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).　　　　举一反三：　　【变式1】求下列各式中x的值：　　(1)(2)(3)lg100=x(4)5　　思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.　　解：(1)；　　　　(2)；　　　　(3)10x=100=102，于是x=2；　　　　(4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值　　2．求值：　　解：.　　总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对

4、数形式；③其值为真数.　　举一反三：　　【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)　　思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.　　解：.类型三、积、商、幂的对数　　3.已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.　　(1)lg9(2)lg64(3)lg6(4)lg12(5)lg5(6)lg15　　解：(1)原式=lg32=2lg3=2b　　　　(2)原式=lg26=6lg2=6a　　　　(3)原式=lg2+lg3=a+b　　　　(4)原式=lg22+lg3=2a+b　　　　(5)原式=1-lg2=1-a　　　　(6)原式=lg3+lg5=lg

5、3+1-lg2=1+b-a　举一反三：　　【变式1】求值　　(1)　　(2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)25　　解：(1)　　　　　　　　　　(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1　　　　(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2　　　　　=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.　【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.　　解：由3a=c得：　　　　同

6、理可得　　　　.类型四、换底公式的运用　　4.(1)已知logxy=a，用a表示；　　　　　(2)已知logax=m，logbx=n，logcx=p，求logabcx.　　解：(1)原式=；　　　　(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.　　　　　方法一：am=x，bn=x，cp=x　　　　　　　　　∴，　　　　　　　　　∴；　　　　　方法二：.　举一反三：　　【变式1】求值：(1)；(2)；(3)5.　　解：(1)　；　　　　(2)；　　　　(3)法一：　　　　　法二：.　　总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个

7、对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用　　5.求值　　(1)log89·log2732　　(2)　　(3)　　(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)　　解：(1)原式=.　　　　(2)原式=　　　　(3)原式=　　　　(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)　　　　　　　5