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1、函数对称性一知识点精讲：I函数yf(x)图象本身的对称性（自身对称）1、f(ax)f(bx)yf(x)图象关于直线(ax)(bx)abx对称22证明：函数yf(x)图象上的任一点P(x,y)（满足f(x0)y0）关于直线00abx的2对称点为Q(abx,y)，00f(abx)f[(bx)a]f[b(bx0)]f(x0)y000ab点Q仍在函数yf(x)的图象上，从而函数yf(x)的图象关于直线x对称.2推论1：f(ax)f(ax)yf(x)的图象关于直线xa对称
推论2、f(x)f(2ax)yf(x)的图象关于直线xa对
2、称
推论3、f(x)f(2ax)yf(x)的图象关于直线xa对称ab2、f(ax)f(bx)2cyf(x)的图象关于点,)(c2对称证明：函数yf(x)图象上的任一点P(x,y)（满足00abf(x)y）关于点(,c)的002对称点为Q(abx,2cy)，00f(abx)f[(bx)a]002cf[b(bx)]2cf(x)2cy000ab点Q仍在函数yf(x)的图象上，从而函数yf(x)的图象关于点(,c)对称.2推论1、f(ax)f(ax)2byf(x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f(x)f(2ax)2byf(x
3、)的图象关于点(a,b)对称推论3、f(x)f(2ax)2byf(x)的图象关于点(a,b)对称II两个函数的图象对称性（相互对称）1、yf(x)与yf(x)图象关于y轴对称2、yf(x)与yf(x)图象关于原点对称函数3、函数yf(x)与yf(x)图象关于x轴对称4、函数yf(x)与其反函数yfx图象关于直线yx对称1()1()5.函数yf(ax)与yf(bx)图象关于直线bax对称2证明：函数yf(ax)图象上的任一点P(x,y)（满足f(ax0)y0）关于直线00bax的对称点为Q(bax0,y0)，f[b(bax
4、0)]f(ax0)y02点Q在函数yf(bx)的图象上；反之函数yf(bx)的图象上任一点关于直线1bax的对称点也在函数yf(ax)图象上.从而函数yf(ax)与2bayf(bx)的图象关于直线x对称.2推论1:函数yf(ax)与yf(ax)图象关于直线x0对称推论2:函数yf(x)与yf(2ax)图象关于直线xa对称推论3:函数yf(x)与yf(2ax)图象关于直线xa对称6若函数yf(x)的定义域为R，则函数yf(ax)与yf(bx)的图象关于点ba(,0)2对称.证明：函数yf(ax)图象上的任一点P(x,y)（
5、满足00f(ax)y）关于点00ba(,0)2的对称点为Q(bax0,y0)，f[b(bax0)]f(ax0)y0点Q在函数yf(bx)的图象上；反之函数yf(bx)的图象上任一点关于点ba(,0)2的对称点也在函数yf(ax)图象上.从而函数yf(ax)与bayf(bx)的图象关于点(,0)2对称.二典例解析：1、定义在实数集上的奇函数f(x)恒满足f(1x)f(1x)，且x(1,0)时,1xfx)2,则f(log220)________。(5解析：yf(x)关于直线x1对称，f(x)f(2x)，又是f(x)奇函数，f
6、(x)f(x)，故有f(2x)f(x)，T4,454log125f(log220)f(log2204)f(log)f(log)21答案22455为：12、已知函数yf(x)满足f(x)f(2x)0，则yf(x)图象关于__对称。解析：这是一个函数的对称性，由上述结论知yf(x)图象关于(1,0)对称3、函数yf(x1)与函数yf(1x)的图象关于关于______对称。解析：这是两个函数的对称性，两函数的图象关于x1对称答案：x14、设函数yf(x)的定义域为R，且满足f(x1)f(1x)，则yf(x)的图象关于_____
7、__对称。解析：这是一个函数的对称性，yf(x)的图象关于y轴即x0对称答案：x05、设函数yf(x)的定义域为R，且满足f(x1)f(1x)，则yf(x1)的图象关于______对称。解析：yf(x)关于直线x1对称，yf(x1)是由yf(x)向左平移一个单位得到2的，故yf(x1)的图象关y轴对称正确答案为y轴6、设yf(x)的定义域为R，且对任意xR，有f(12x)f(2x)，则yf(x)关于______对称，yf(2x)图象关于________对称，。解析：令t2x，则有f(1t)f(t)yf(t)关于直线1t，
8、即yf(x)关2于1x对称，yf(2x)是由yf(x)的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的212，yf(2x)关于1x对称。正确答案为41x，2x147、已知函数yf(x)对一切实数x满足f(2x)f(4x)，且方程f(x)0有5个实根，则这5个实根之和为_______解析：yf(x)的图象关于直线x3对称，故五个实根
