高中数学第2章概率2.6正态分布教学案苏教版选修

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1、2.6正态分布1．概率密度曲线对于某一随机变量的频率分布直方图，若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图上的频率折线将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．2．正态密度曲线函数表达式P(x)＝e－，x∈R，其中实数μ(μ∈R)和σ(σ>0)为参数图象的特征(1)当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降.当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线(2)正态曲线关于直线x＝μ对称(3)σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡(4)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1　　3.正态分布若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a

2、≤b)恰好是正态密度曲线下方和x轴上(a，b]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2)．4．标准正态分布正态分布N(0，1)称为标准正态分布．5．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%；落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%；落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%.6．中心极限定理在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于正态分布，这就是中心极限定理．1．在正态分布X～N(μ，σ2)中，μ就是随机变量X的均值，

3、σ2就是随机变量X的方差，它们分别反映X取值的平均大小和稳定程度．2．正态密度曲线的性质(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“尖陡”；σ越大，曲线越“扁平”，如图②.　　[例1]　如图所示是一个正态密度曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出随机变量的均值和方差．[思路点拨]　解答本题可首先借助图象观察该函数的对称轴及最大值，然后结合φ

4、μ，σ(x)＝e－可知μ及σ的值．[精解详析]　从给出的正态密度曲线可知，该正态密度曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20.＝，解得σ＝.于是概率密度函数的解析式是f(x)＝·e－，x∈(－∞，∞)．随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝＝2.[一点通]　利用图象求正态密度曲线的方程．关键是确定μ，σ.结合图象，利用正态密度曲线的两条性质：一是对称轴，二是最值即可求出μ，σ.相应参数确定了，代入f(x)＝e－即可．1．下列函数是正态密度函数的是________．(1)f(x)＝e，μ，σ(σ>0)都是实数(2)f(x)＝e－(3)f(x)＝e－(4)f(x

5、)＝e解析：本题考查正态密度函数，可对照f(x)＝e－，其中指数部分的σ应与系数的分母处的σ保持一致，系数为正数且指数为负数．(1)有两处错误，分别是·σ错为，指数错为正数．(3)从系数可得σ＝2，从而指数处可得σ＝，显然不符．(4)中指数为正，错误．答案：(2)2．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为.求该正态分布的概率密度函数的解析式．解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由于＝，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞).　　[例2]　关于正态曲线φ(

6、x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，σ>0有以下命题：①正态密度曲线关于直线x＝μ对称；②正态密度曲线关于直线x＝σ对称；③正态密度曲线与x轴一定不相交；④正态密度曲线与x轴一定相交；⑤正态密度曲线所代表的函数是偶函数；⑥曲线对称轴由μ确定，曲线的形状由σ决定；⑦当μ一定时，σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．其中正确的是________(填序号)．[思路点拨]　根据正态分布曲线的性质可直接判断．[精解详析]　根据正态分布曲线的性质可得，由于正态密度曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处于最高点并由该点向左、右两边无限延伸，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x

7、轴的上方，曲线形状由σ决定，而且当μ一定时，比较若干个不同的σ对应的正态曲线，可以发现σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．故①③⑥⑦正确．[答案]　①③⑥⑦[一点通]　解决正态曲线的性质问题，应对正态曲线的简单性质要熟练掌握并且能够应用，尤其是对称性，最高点的位置，曲线左右无限延伸并逐渐降低，要结合正态曲线的图象理解并掌握．3．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示．则下列说法正确的是________．①μ1<μ2，σ1<σ2；②μ1<μ2，σ1>σ2；③μ1>μ2，σ1<σ2；④μ1>μ2，σ1>