2019版高考数学复习三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式学案

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1、第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式板块一　知识梳理·自主学习[必备知识]考点1　同角三角函数的基本关系式1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1.2．商数关系：tanα＝.考点2　六组诱导公式[必会结论]1．同角三角函数基本关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα.2．诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α，β为锐角，则

2、sin2α＋cos2β＝1.(　　)(2)已知sinα＝，α∈，则cosα＝.(　　)(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(　　)(4)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(　　)(5)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cosθ＝.(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×2．[2018·商丘模拟]sin(－600°)的值为(　　)A.B.C．1D.答案　A解析　sin(－600°)＝sin(－720°＋120°)＝sin120°＝.3．已知cos＝，且α∈，则tanα＝(　　)A.B.C．－D．±答案　B解析　∵si

3、nα＝－，cosα＝－，∴tanα＝.选B.4．若sin(π＋α)＝－，则sin(7π－α)＝________，cos＝________.答案　　解析　由sin(π＋α)＝－，得sinα＝，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝，cos＝cos＝cos＝cos＝sinα＝.5．[课本改编]若α是第二象限角，且tanα＝－2，则cosα＝________.答案　－解析　由tanα＝－2，得sinα＝－2cosα，代入平方关系得5cos2α＝1，因为cosα<0，所以cosα＝－.6．[2018·桂林模拟]若sin＝，则cos＝________.答案

4、　－解析　cos＝cos＝sin＝－sin＝－.板块二　典例探究·考向突破考向　同角三角函数基本关系式的应用例　1　[2018·杭州模拟]已知－

5、1－2sinxcosx＝1＋＝.①又∵－0，∴sinx－cosx<0.②由①②可知sinx－cosx＝－.(2)解法一：由已知条件及(1)可知解得∴tanx＝－.又∵＝＝＝，∴＝.解法二：由已知条件及(1)可知＝＝＝.　在本例条件下，求的值．解　＝＝＝.　在本例条件下，求sin2x＋sinxcosx的值．解　sin2x＋sinxcosx＝＝＝＝－.触类旁通同角三角函数基本关系式及变形公式的应用(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思

6、想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.(4)关于sinα，cosα的齐次式，往往转化为关于tanα的式子求解．【变式训练】　(1)已知2tanα·sinα＝3，－＜α＜0，则sinα＝(　　)A.B．－C.D．－答案　B解析　因为2tanα·sinα＝3，所以＝3，所以2sin2α＝3cosα，即2－2cos2α＝3cosα，所以cos

7、α＝或cosα＝－2(舍去)，又－＜α＜0，所以sinα＝－.(2)已知α是三角形的内角，且tanα＝－，求sinα＋cosα的值．解　由tanα＝－，得sinα＝－cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cosα＜0，∴cosα＝－，sinα＝，故sinα＋cosα＝－.考向　利用诱导公式化简求值命题角度1　利用诱导公式化简求值例　2　已知f(α)＝，求f的值．解　f(α)＝＝－tanα，则f＝－tan＝tan＝1.命题角度2　同角关系和诱导公式的综合应用例　3　[2016·全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin

8、＝，则tan＝________.答案　－解析　因为s