3.1.1 数系的扩充和复数的概念 学案（人教a版选修1-2）

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1、3．1.1　数系的扩充和复数的概念课标解读1.了解数系的扩充过程．2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．(重点)3．掌握复数的代数形式、分类等有关概念．(难点、易混点)复数的有关概念【问题导思】　1．为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题？【提示】　引入新数i，规定i2＝－1，这样i就是方程x2＋1＝0的根．2．设想新数i和实数b相乘后再与a相加，且满足加法和乘法的运算律，则运算的结果可以写成什么形式？【提示】　a＋bi(a，b∈R)的形式．　(

2、1)复数的定义：把集合C＝{a＋bi

3、a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数．(2)虚数单位：i，其满足i2＝－1.(3)复数集：全体复数构成的集合C.(4)复数的代数形式：z＝a＋bi(a，b∈R)．(5)实部、虚部：对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．复数相等　若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.复数分类　(1)对于复数a＋bi，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫

4、做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下：复数a＋bi(a，b∈R)(2)集合表示．复数的基本概念　下列命题中，正确命题的个数是(　　)①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；⑤－1没有平方根；⑥若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3【思路探究】　根据复数的有关概念判断．【

5、自主解答】　①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题．③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0也成立，∴③是假命题．④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，∴④错．⑤－1的平方根为±i，∴⑤错．⑥当a＝－1时，(a＋1)i＝0是实数，∴⑥错．故选A.【答案】　A　正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解

6、答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答．已知下列命题：①复数a＋bi不是实数；②当z∈C时，z2≥0；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数；⑤若a，b，c，d∈C时，有a＋bi＝c＋di，则a＝c，且b＝d.其中真命题的个数是________．【解析】　根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假命题，因为当a∈R且b＝0时，a＋bi是实数．②假命题，如当z＝i时，则z2＝－1<0.③是假命题，因为由

7、纯虚数的条件得解得x＝2，当x＝－2时，对应复数为实数．④是假命题，因为没有强调a，b∈R.⑤是假命题，只有当a、b、c、d∈R时，结论才成立．【答案】　0复数的分类　当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【思路探究】　根据复数的分类标准→列出方程(不等式)组→解出m→结论【自主解答】　(1)当即m＝2时，复数z是实数．(2)当m2－2m≠0，且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．(3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数．1．本例中，极易忽略对m≠0的限制，从

8、而产生增解，应注意严谨性．2．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式)，求解参数时，注意考虑问题要全面．　把题中的“z”换成“z＝lgm＋(m－1)i”，分别求相应问题．【解】　(1)当即m＝1时，复数z是实数．(2)当m－1≠0且m＞0，即m＞0且m≠1时，复数z是虚数．(3)当lgm＝0且m－1≠0时，此时无解，即无论实数m取何值均不能表示纯虚数．复数相等　已知＝(x2－2x－3)i(x∈R)，求x的值．【思路探究】　根据复数相等的充要条件转化成关于

9、x的方程组求解．【自主解答】　∵x∈R，∴∈R，由复数相等的条件得：解得x＝3.1．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等列方程组求实数x，y的值．2．求解复数的有关问题时，务必注意参数x，y的范围．求使等式(2x－1)＋i＝y－(3－y)i成立的实数x，y的值．【解】　由解得因忽视虚数不能比较大小而出错　求满足条件－2＋a－(b－a)i>－5＋(a＋2b－6)i的实数a，b的