数学思维品质剖析

《数学思维品质剖析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、数学思维品质剖析东莞中学数学科刘瑞红摘要：数学思维在思维科学中，具有极其特殊的重要地位。数学的教学几乎无时无刻不在引导学生进行思维活动，并广泛地应用各种思维活动的方法和规律。在数学思维中，思维方法决定着思维活动的成败和质量，因此，研究数学思维的品质，对于形成完善的数学思维结构和发展数学思维能力具有重要的意义。而数学思维不仅具有一般思维的特征，同时也具有自身的个性特征。那么，该文将简要地论述一般思维的概念与特征，并由此出发来探讨数学思维及品质。提纲：数学思维品质（一）数学思维的广阔性（二）数学思维的灵活性（主要介绍了

2、“退却”思想的应用）（三）数学思维的深刻性（四）数学思维的批判性关键词：思维；数学思维活动；思维品质正文：数学思维是一种特殊的思维，是人脑运用数学符号与数学语言对数学对象间接概括的反映过程。具体来说，数学思维是以数学概念为细胞，通过数学判断和数学推理的形式揭开数学对象的本质和内在联系的认识过程。数学思维既从属于一般的人类思维，受到一般思维规律的制约，同时由于数学及其研究方法的特点，数学思维又具有不同于一般思维的自身特点。数学思维的品质是衡量数学思维质量的重要指标，它决定了人们的数学思维能力。大致可以分为以下几种：（

3、一）广阔性数学思维的广阔性表现在思路宽广，善于在问题涉及的范围中进行多方面思考；既能抓住问题的细节，又能纵观它的整体；既能抓住问题本身，又能兼顾有关的其他问题；善于多方面解释事实，善于思考问题的一题数解，善于把知识概括归类，形成知识结构等。数学对象是复杂的，既不象一个球，从各个角度观察都是一个形状，也不象一张纸总是一个平面而无层次。因此，数学思维需要有丰富的层次和不同的角度。例1.1设三个不为零的复数,,满足条件++=0,

4、

5、=

6、

7、=

8、

9、,它们对应的点,,是一个正三角形的三个顶点。证一：（利用复数的三角形式证）令k

10、=1,2,3不妨设其中，由于++=0于是｛消去,得或同理或,或综合三式得，所以复数,,对应的点,,将同一圆周三等分，故为一正三角形三顶点。证二：（利用复数的模证）不妨设

11、

12、=

13、

14、=

15、

16、=1，只要证即可由题意=，于是，从而=3所以=，同理==由此可见是正三角形。证三：（利用复数运算的几何意义证）由题设知点，，在以原点O为圆心的同一圆周上，又由=，设在复平面上对应的点为（如图1.1），则由复数加法的几何意义知，与都是正三角形，故=，同理=，从而，，是正三角形的三个顶点（二）灵活性思维的灵活性是指依据客观条件的变化及时调

17、整思维的方向。数学的灵活性表现在不受思维定势和固定模式的束缚，善于发现新的条件和新的因素，在思维受阻时能及时改变原思考路线，修定原订方案，从而找到新的方案和新的途径。比如，在数学解题过程中，善于“退却”，退到最原始而不失其本质的地方，退却中放弃一些约束条件，以便争取“主动权”，增加“自由度”，然后精心选择“突破口”进行战略“反攻”。这也是解决数学问题的一种重要策略。例2.1（从复杂退到简单）：已知方程组试求。这是一道国际数学竞赛问题，已知方程组中含有2000个未知数，且方程组的次数是2000次，显然用通常求方程组解

18、的思路和方法是不可能的。但我们要解决此类复杂问题，可先将问题尽可能简单化，以降低难度系数，为此，我们得保持原方程组的结构不变，先解简单的方程组由（1）得代入（2）得解此方程不难得到：，此解法的关键是将方程（1）看作与（）两个未知量的方程，因此可解决原问题：将第一个方程变形为，代入第1989个方程得=同理将第一个方程变形并代入第1990个方程得=联立（4）（5）得或或从而解得或例2.2（从多参数退到较少参数）：设,求证此题涉及三个参数,,证明难度较大，我们不妨抓住问题的本质特征，大胆将多参化为少参的类似问题。设，求证

19、。这个问题非常容易解决，由于=我们可得启示===从而原命题很容易得证。例2.3（从抽象退到具体问题）：在一个平面上有n个点，且n>4，任何三个点都不在同一直线上。求证至少能找到个凸四边形，其顶点是给定的n个点。解决抽象问题难就难在一时难以发现它的一般规律，我们可以先就几个具体的特殊情况进行分析，归纳，再从特殊中获取一般的解决方法。因为n>4，所以先讨论n=5时的命题是否成立。时只要证明至少存在一个凸四边形即可。此时共有三种情况：（1）五个点是凸四边形的五个顶点，因五个点中任意四个点都可以构成一个凸四边形，故命题真。

20、（2）五个点中的四个点是一个凸四边形的顶点，命题显然真。（3）五个点中的三个点A，B，C构成一个三角形，其余两点D，E在三角形内，此时A，B，C三点中有且只有两个点在连线DE的同旁。不妨设B，C位于DE的同旁，则BCDE即是一个凸四边形，命题亦真。总之，当n=5时原命题成立。在此基础上，我们证明n>4原命题成立：设任意给定的n个点组成一个点集。从n个点中任取