《等差数列的前n项和》（人教）

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1、高中数学人教A版（必修五）畅言教育《等差数列的前n项和》◆教学目标1、知识与技能（1）通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；（2）能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；（3）体会等差数列与一次函数的关系。2、过程与方法（1）通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律；（2）由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。3、情感态度与价值观培养

2、学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。用心用情服务教育高中数学人教A版（必修五）畅言教育◆教学重难点◆【教学重点】探索并掌握等差数列的前n项和公式；学会用公式解决一些实际问题，体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系。【教学难点】等差数列前n项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。◆教学过程（一）新课导入泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆

3、宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？获得算法：思考　高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和。但如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？答案：不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对。但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…用心用情服务教育高中数学人教A版（必修五）畅言教育＋[(n－1

4、)＋2]＋(n＋1)，∴2Sn＝n(n＋1)，∴Sn＝.（二）新课讲授等差数列的前n项和公式问题：如何求数列的前项和Sn？如果把两式左右两端相加，将会有什么结果？∵∴由此得：思考1若已知a1及公差d，结果会怎样呢？代入公式1即得：比较两个公式的异同在等差数列{an}中，如果已知五个元素a1,an,n,d,Sn中的任意三个,请问:能否求出其余两个量?，结论：知三求二，解题思路一般是:建立方程(组)求解思考2　如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？答案：(a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a

5、2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)＝＝100d，类似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d.∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列。经过推导我们有如下结论：　用心用情服务教育高中数学人教A版（必修五）畅言教育(1)Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d。(2)若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd

6、，＝。(3)若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)·an，＝。（三）例题探究例1　已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？解：方法一　由题意知S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式Sn＝na1＋d，得到解方程组得∴Sn＝n×4＋×6＝3n2＋n.方法二　S10＝＝310⇒a1＋a10＝62，①S20＝＝1220⇒a1＋a20＝122，②②－①得a20－a10＝60，∴10d＝60，∴d＝6，a1＝4.

7、∴Sn＝na1＋d＝3n2＋n.跟踪训练1　在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.解　由得解方程组得或例2　(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值。解：(1)方法一　在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，S3m－100成等差数列。用心用情服务教育高中数学人教A版（必修五）畅言教育∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m