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时间:2019-05-04
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1、高中数学人教A版(必修五)畅言教育《等差数列的前n项和》◆教学目标1、知识与技能(1)通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;(2)能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题;(3)体会等差数列与一次函数的关系。2、过程与方法(1)通过对历史有名的高斯求和的介绍,引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律;(2)由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题,进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。3、情感态度与价值观培养
2、学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。用心用情服务教育高中数学人教A版(必修五)畅言教育◆教学重难点◆【教学重点】探索并掌握等差数列的前n项和公式;学会用公式解决一些实际问题,体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系。【教学难点】等差数列前n项和公式推导思路的获得,灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。◆教学过程(一)新课导入泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆
3、宝石镶饰而成,共有100层(见左图),奢靡之程度,可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗?获得算法:思考 高斯用1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50迅速求出了等差数列前100项的和。但如果是求1+2+3+…+n,不知道共有奇数项还是偶数项怎么办?答案:不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对。但我们可以采用倒序相加来回避这个问题:设Sn=1+2+3+…+(n-1)+n,又Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1,∴2Sn=(1+n)+[2+(n-1)]+…用心用情服务教育高中数学人教A版(必修五)畅言教育+[(n-1
4、)+2]+(n+1),∴2Sn=n(n+1),∴Sn=.(二)新课讲授等差数列的前n项和公式问题:如何求数列的前项和Sn?如果把两式左右两端相加,将会有什么结果?∵∴由此得:思考1若已知a1及公差d,结果会怎样呢?代入公式1即得:比较两个公式的异同在等差数列{an}中,如果已知五个元素a1,an,n,d,Sn中的任意三个,请问:能否求出其余两个量?,结论:知三求二,解题思路一般是:建立方程(组)求解思考2 如果{an}是等差数列,那么a1+a2+…+a10,a11+a12+…+a20,a21+a22+…+a30是等差数列吗?答案:(a11+a12+…+a20)-(a1+a
5、2+…+a10)=(a11-a1)+(a12-a2)+…+(a20-a10)==100d,类似可得(a21+a22+…+a30)-(a11+a12+…+a20)=100d.∴a1+a2+…+a10,a11+a12+…+a20,a21+a22+…+a30是等差数列。经过推导我们有如下结论: 用心用情服务教育高中数学人教A版(必修五)畅言教育(1)Sm,S2m,S3m分别为等差数列{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列,公差为m2d。(2)若等差数列的项数为2n(n∈N*),则S2n=n(an+an+1),且S偶-S奇=nd
6、,=。(3)若等差数列的项数为2n-1(n∈N*),则S2n-1=(2n-1)an,且S奇-S偶=an,S奇=nan,S偶=(n-1)·an,=。(三)例题探究例1 已知一个等差数列{an}的前10项的和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?解:方法一 由题意知S10=310,S20=1220,将它们代入公式Sn=na1+d,得到解方程组得∴Sn=n×4+×6=3n2+n.方法二 S10==310⇒a1+a10=62,①S20==1220⇒a1+a20=122,②②-①得a20-a10=60,∴10d=60,∴d=6,a1=4.
7、∴Sn=na1+d=3n2+n.跟踪训练1 在等差数列{an}中,已知d=2,an=11,Sn=35,求a1和n.解 由得解方程组得或例2 (1)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项的和S3m;(2)两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,已知=,求的值。解:(1)方法一 在等差数列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,∴30,70,S3m-100成等差数列。用心用情服务教育高中数学人教A版(必修五)畅言教育∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m
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