《等差数列的前n项和》（人教）

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1、人民教育出版社高中

2、必修五第二章数列等差数列的前n项和本课时编写：福州八中学校欧阳师章老师新课导入传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。212120191获得算法：123思考1:高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和。但如果是求1

3、＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？解析：不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对。但我们可以采用刚才求宝石用的倒序相加来回避这个问题：设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，∴2Sn＝n(n＋1)，新课讲授等差数列的前n项和公式如果把两式左右两端相加，将会有什么结果？思考：若已知a1及公差d，结果会怎样呢？比较两个公式的异同在等差数列{an}中，如果已知五个元素a1,an,n,d,Sn中的任意三个,请问:能否求出其余两个量?结论：知三求二解题思路一般是:

4、建立方程(组)求解思考2：如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？解析：(a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)＝＝100d，类似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d。∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列。(1)Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2

5、d。(2)若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝，且S偶－S奇＝，(3)若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)·an，n(an＋an＋1)nd(2n－1)an经过推导我们有如下结论：例题探究例1已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？解：方法一由题意知S10＝310，S20＝1220，跟踪训练1在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n。解：例2(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{a

6、n}的前3m项的和S3m。解：方法一在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，S3m－100成等差数列。∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210。即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210。跟踪训练2已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an。例题4甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m。(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？课堂检测1.在

7、等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是()A.12B.24C.36D.48B2.记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于()A.2B.3C.6D.7B3.已知数列{an}中，Sn＝－n2＋10n，数列{bn}的每一项都有bn＝

8、an

9、，求数列{bn}的前n项和Tn的表达式。课堂总结1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到。2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量。若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量。3.因为an＝Sn－Sn-1只有n≥2时才有意义.所以由Sn求通项公式an

10、＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示。4.本节基本思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想。