【教学设计】《用函数模型解决实际问题》（北师大）

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1、高中数学北师大版（必修一）畅言教育《用函数模型解决实际问题》◆教材分析本课是北师大版普通高中数学必修一第四章第2节的内容。函数基本模型的应用是本章的重点内容之一，教科书用例题作示范，并配备了较多的实际问题让学生进行练习。教科书中还渗透了函数拟合的基本思想。通过本节学习让学生进一步熟练函数基本模型的应用，提高学生解决实际问题的能力。◆教学目标【知识与能力目标】能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题。【过程与方法目标】感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科

2、中的重要性。【情感态度价值观目标】体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值。用心用情服务教育高中数学北师大版（必修一）畅言教育◆教学重难点◆【教学重点】运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题。【教学难点】将实际问题转变为数学模型。◆课前准备◆电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。◆教学过程一、导入部分大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里,从上面数,有三

3、十五个头；从下面数,有九十四只脚,求笼中各有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？二、研探新知，建构概念1.电子白板投影出上面实例。介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”.这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝232.教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。用心用情服务教育高中数学北师大版（必修一）畅言教育现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型有一次函数模型(y

4、=kx+b,k≠0，b≠0)、二次函数模型(y=ax2+bx+c,a≠0)、正比例函数模型(y=kx,k≠0)、反比例函数模型(y=kx,k≠0、分段函数模型、指数函数模型(y=k(1+a)x,k≠0,a>-1且a≠0)、对数函数模型(y=klogax+b,k≠0,a>0且a≠1)、幂函数模型（y=kxn+b,k≠0,x>0）。三、质疑答辩，发展思维1.举例：某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间。若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多

5、少时，每天客房的租金总收入最高？解：设客房日租金每间提高2元，则每天客房出租数为300－10，由＞0，且300－10＞0得：0＜＜30。设客房租金总上收入元，则有：=（20+2）(300－10)=－20(－10)2＋8000（0＜＜30）由二次函数性质可知当=10时，=8000所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元。2.思考：用函数模型解决实际问题的步骤是怎样的？（1）认真审题：弄清题意，分清条件与结论，抓住关键词语和量，理顺数量关系。（2）建立函数模型：在理解题意的基础上，通过列表、画

6、图、引入变量等手段把实际问题转化为数学问题，把文字语言转化为数学符号语言，建立符合题意的函数模型。（3）求解函数模型得出结论，将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解。注意：在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系.抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制。3.例题:例1某公司一年需要某元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机。该元件每年分n次进货，每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元。已购进而未使用的元件需要付库存费，可以认为平均库存量为12x件，每个元件的库

7、存费是一年2元，请核算一下，每年进货几次花费最小？用心用情服务教育高中数学北师大版（必修一）畅言教育解：无论分几次进货，公司进货的总数是8000个元件，元件费用是固定不变的，影响总费用变化的量只是库存费和购货手续费，若想减少库存费，就要增加进货次数，而进货次数的增加又使手续费的总量增加了，这就需要将二者对总费用的影响用数学关系表示清楚，进而求最小的花费。设购进8000个元件的总费用为F，一年总库存费为E，手续费为H，其他费用为C(C为常数)，则E=2×12x,H=500×8000X,x=8000n,(n≥1,n∈Z),所以F=E+H+C

8、=2×12x+500×8000x+C=8000n+500n+C=500(4n-n)2+4000+C≥4000+C.当且仅当4n=n，即n=4时，总费用最少，故以每年进货4次为宜。例2电声器材厂在生产扬声器过